Để chứng minh OH vuông góc với BC và tính độ dài các đoạn AB và OH theo bán kính R, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tam giác đều và hình tròn nội tiếp**:
- Giả sử tam giác đều ABC có cạnh là a.
- Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp. Bán kính R được định nghĩa là khoảng cách từ O đến một trong các đỉnh của tam giác (cụ thể là từ O đến A, B hoặc C).

2. **Định vị các điểm**:
- Để đơn giản, ta xét tam giác ABC nằm trong hệ tọa độ:
- A(0, R)
- B(-R\(\frac{1}{2}\sqrt{3}\), -R\(\frac{1}{2}\))
- C(R\(\frac{1}{2}\sqrt{3}\), -R\(\frac{1}{2}\))

3. **Tính độ dài AB (cạnh của tam giác đều)**:
- Sử dụng định lý khoảng cách giữa hai điểm, ta có:
\[
AB = \sqrt{\left(0 - (-R\frac{1}{2}\sqrt{3})\right)^2 + \left(R - (-R\frac{1}{2})\right)^2}
\]
Giải thích chi tiết:
\[
AB = \sqrt{\left(R\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)^2 + \left(R + R\frac{1}{2}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{R^2 \cdot \frac{3}{4} + R^2 \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt{R^2(3 + 9)/4} = R\sqrt{3}.
\]

4. **Tính độ dài OH**:
- Mặt phẳng BC vuông góc với đường nối giữa O và H. Ta sẽ chứng minh rằng OH vuông góc với BC bằng cách xem xét góc giữa dòng OH và BC.
- H là điểm cắt giữa đường kính AA' và cạnh BC. Bởi vì AA' là đường kính, do đó góc AHB bằng 90 độ (dùng định lý của đường kính).
- O là trung điểm của đoạn AA' và O là trực tâm của tam giác ABC do ABC đều, từ đó có thể khẳng định OH phải vuông góc với BC.

Từ những lý thuyết trên, đã có thể khẳng định OH vuông góc với BC. Vậy:
- \( AB = R\sqrt{3} \)
- \( OH = R \) (do điểm O nằm trên trục đối xứng của tam giác đều và nội tiếp)

**Kết quả**:
- \( AB = R\sqrt{3} \)
- \( OH = \frac{R}{2} \) (dựa trên các tính toán từ vị trí của H)

Chúng ta sẽ đi đến các cụm từ ngữ chính, nhưng điều quan trọng là OH chính là chiều cao từ O đến BC, dựa trên việc sử dụng tọa độ nên bạn hoàn toàn có thể thực hiện dễ dàng giải bài này.