Chắc chắn! Để thực hiện các phép tính trong câu hỏi trên, chúng ta cần thực hiện từng phần một.

### Câu 1

**a.** \( \frac{5}{9} \left( -\frac{1}{22} \right) + \frac{5}{9} \left( \frac{1}{15} \cdot \frac{2}{3} \right) \)

1. Tính phần đầu tiên:
\[ \frac{5}{9} \times -\frac{1}{22} = -\frac{5}{198} \]

2. Tính phần thứ hai:
\[
\frac{1}{15} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{45}
\]
Vậy:
\[
\frac{5}{9} \times \frac{2}{45} = \frac{10}{405} = \frac{2}{81}
\]

3. Cộng lại:
\[
-\frac{5}{198} + \frac{2}{81} = -\frac{5}{198} + \frac{2 \cdot 2.4444}{81} = -\frac{5}{198} + \frac{4.8889}{81}
\]

### b.
\[ \frac{69}{157} \left( -\left(2 + \left(3 + (4 + 5)^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1} \right) \]

1. Tính trong ngoặc đầu tiên:
\[
4+5 = 9 \Rightarrow 9^{-1} = \frac{1}{9}
\]
Tiếp theo,
\[
3 + \frac{1}{9} = \frac{27 + 1}{9} = \frac{28}{9} \Rightarrow \left(\frac{28}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{28}
\]

Tiếp theo,
\[
2 + \frac{9}{28} = \frac{56 + 9}{28} = \frac{65}{28} \Rightarrow \left(\frac{65}{28}\right)^{-1} = \frac{28}{65}
\]

Do đó:
\[
-\frac{28}{65}
\]

Cuối cùng:
\[
\frac{69}{157} \times -\frac{28}{65}
\]

### c.
\[ 5^{4.15} \cdot 9^{4.3} - 3^{2.30} \cdot 8^{9} \]

Đối với phần này, ta sẽ tính giá trị từng phần và sau đó thực hiện các phép toán.

1. Tính \( 5^{4.15} \cdot 9^{4.3} \)
2. Tính \( 3^{2.30} \cdot 8^{9} \)

### Câu 2

**a.**
Tỉ lệ thức \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) có nghĩa là:
\[
(a + 2c)(b + d) = (a + c)(b + 2d)
\]

**b.**
Gọi hai số nguyên là \( x \) và \( y \):
- Tổng: \( S = x + y \)
- Hiệu: \( D = x - y \)
- Thương: \(\frac{x}{y}\)
- Điều kiện: \( S + D = 2x \) và \( S - D = 2y \)

Bây giờ có thể thay các giá trị vào để giải quy tắc và tìm x, y.

Nếu bạn cần thêm chi tiết từng phép tính hoặc một phần cụ thể, hãy cho tôi biết!