Giải hệ với m = 3. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất; khi đó điểm A thuộc góc phần tư thứ 3 trên mặt phẳng tọa độ

Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
mx + ny = -3 \\
(1-m)x + y = 0
\end{cases}
\]

với \( m = 3 \), chúng ta thay giá trị \( m \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
3x + ny = -3 \\
(1-3)x + y = 0
\end{cases}
\]

Giản lược phương trình thứ hai:

\[
-2x + y = 0 \implies y = 2x
\]

Thay \( y = 2x \) vào phương trình đầu tiên:

\[
3x + n(2x) = -3 \implies (3 + 2n)x = -3
\]

Để có nghiệm duy nhất cho \( x \), điều kiện là hệ số của \( x \) phải khác 0:

\[
3 + 2n \neq 0 \implies n \neq -\frac{3}{2}
\]

Vì vậy, \( n \) có thể nhận các giá trị khác ngoài \( -\frac{3}{2} \).

### Tìm \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất:

Để hệ có nghiệm duy nhất, ta cần xác định điều kiện cho \( m \):

Giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
mx + ny = 18 \\
x - y = -6
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
x = y - 6
\]

Thay vào phương trình đầu tiên:

\[
m(y - 6) + ny = 18 \implies my - 6m + ny = 18
\]

Đặt lại thành:

\[
(m+n)y - 6m = 18 \implies (m+n)y = 18 + 6m
\]

Để có nghiệm duy nhất, hệ số của \( y \) không được bằng 0:

\[
m+n \neq 0 \implies n \neq -m
\]

### Điều kiện cho điểm A thuộc góc phần tư thứ 3:

Điểm A có tọa độ \( (x, y) \) thuộc góc phần tư thứ 3 khi \( x < 0 \) và \( y < 0 \). Áp dụng các điều kiện trên để xác định giá trị của \( m \) và \( n \) để thỏa mãn yêu cầu.

**Kết luận:**

- Để hệ có nghiệm duy nhất khi \( m = 3 \), cần \( n \neq -\frac{3}{2} \).
- Để hệ có nghiệm duy nhất trong bài 10, cần \( n \neq -m \) và kiểm tra dấu của \( x, y \) sau khi thay vào để thỏa mãn thuộc góc phần tư thứ 3.