Để rút gọn biểu thức

\[
\left( \frac{\sqrt{a-2}}{a + 2\sqrt{a} + 1} + \frac{\sqrt{a+2}}{a-1} \right) \cdot \frac{9\sqrt{a+2\sqrt{a} + 1\sqrt{a}}}{a}
\]

ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn từng phần của biểu thức**:

- Xét \(\frac{\sqrt{a-2}}{a + 2\sqrt{a} + 1}\):
- Biểu thức này có thể được rút gọn bằng cách tìm điều kiện để \(a - 2 \geq 0\) và \(a + 2\sqrt{a} + 1 > 0\).

- Xét \(\frac{\sqrt{a+2}}{a-1}\):
- Tương tự, điều kiện là \(a + 2 \geq 0\) và \(a - 1 > 0\).

2. **Tìm mẫu số chung**:
- Mẫu số chung của hai phân số là \((a + 2\sqrt{a} + 1)(a - 1)\).

3. **Gộp chúng lại**:
- Cố gắng tìm mẫu và bậc cao nhất cho từng phần trong biểu thức trên.

4. **Nhân với phần còn lại** \(9\sqrt{a + 2\sqrt{a} + 1\sqrt{a}}\) để kết hợp lại.

5. **Rút gọn**:
- Sau khi nhân và gộp lại, kiểm tra các yếu tố có thể rút gọn.

Tuy nhiên, để cụ thể hơn, ta cần biết giá trị của \(a\) hoặc một số điều kiện rõ ràng. Do đó, nếu bạn có điều kiện hay giá trị cụ thể cho \(a\), hãy cung cấp để có thể thực hiện chi tiết hơn.