Để chứng minh các biểu thức \( A, B, C \) nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) Chứng minh \( A = x^2 - x + 1 \) luôn dương.

Biểu thức này có dạng đa thức bậc hai. Để kiểm tra nó luôn dương, ta sử dụng công thức tìm giá trị cực trị của đa thức bậc hai:

\[
A = ax^2 + bx + c
\]

Trong trường hợp này, \( a = 1, b = -1, c = 1 \). Để biết đa thức này có giá trị cực tiểu ở đâu, ta tính nghiệm của phương trình \( A = 0 \) bằng cách tìm delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]

Vì \( \Delta < 0 \), nên phương trình \( A = 0 \) không có nghiệm, tức là \( A \) không cắt trục hoành và vì \( a = 1 > 0 \) nên biểu thức \( A \) nhận giá trị dương với mọi giá trị của \( x \).

### b) Chứng minh \( B = (x - 2)(x - 4) + 3 \) luôn dương.

Đầu tiên, ta biến đổi biểu thức \( B \):

\[
B = (x - 2)(x - 4) + 3 = x^2 - 6x + 8 + 3 = x^2 - 6x + 11
\]

Tiếp theo, chúng ta tính delta của đa thức này:

\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8
\]

Vì \( \Delta < 0 \), nên phương trình \( B = 0 \) không có nghiệm. Đồng thời \( a = 1 > 0 \), do đó biểu thức \( B \) cũng luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

### c) Chứng minh \( C = 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x + 5 \) luôn dương.

Để chứng minh biểu thức này luôn dương, ta có thể viết lại nó bằng cách nhóm các hạng tử theo từng dạng hoàn thiện:

\[
C = 2(x^2 - 2xy + 2y^2) + 2x + 5
\]

Ta nhóm lại như sau:

\[
C = 2((x - 2y)^2 + y^2) + 2x + 5
\]

Rõ ràng \((x - 2y)^2\) và \(y^2\) luôn không âm (mỗi bình phương luôn không âm). Do đó:

\[
C \geq 2(0) + 2x + 5 = 2x + 5
\]

Giá trị nhỏ nhất của \(2x + 5\) diễn ra khi \(x = -\frac{5}{2} \), lúc đó:

\[
C \geq 2\left(-\frac{5}{2}\right) + 5 = -5 + 5 = 0
\]

Tuy nhiên ở đây chúng ta cần xét thêm các trường hợp khác, để đảm bảo tính dương.

Chúng ta có thể kiểm tra khi \(y = 0\):

\[
C = 2x^2 + 2x + 5
\]
Dễ dàng kiểm tra:

\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 4 - 40 = -36 < 0
\]

Biểu thức này cũng không có nghiệm và luôn dương. Do đó, với mọi giá trị của \( x \) và \( y \), ta có \( C > 0\).

Kết luận, cả ba biểu thức \( A, B, C \) đều nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến.