Để tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức \( M \) xác định, ta cần xác định các điều kiện mà các mẫu số không được bằng 0.

Biểu thức \( M \) được cho như sau:

\[
M = \left( \frac{x+2}{x^2 - x} + \frac{x-2}{x^2 + x} \right) \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2}
\]

### Bước 1: Tìm điều kiện xác định

1. **Điều kiện từ mẫu số thứ nhất**: \( x^2 - x \neq 0 \)
- Giải: \( x(x-1) \neq 0 \) → \( x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \)

2. **Điều kiện từ mẫu số thứ hai**: \( x^2 + x \neq 0 \)
- Giải: \( x(x+1) \neq 0 \) → \( x \neq 0 \) và \( x \neq -1 \)

3. **Điều kiện từ mẫu số thứ ba**: \( x^2 + 2 \neq 0 \)
- Vì \( x^2 + 2 \) luôn dương cho mọi giá trị của \( x \), nên điều kiện này không gây thêm hạn chế.

### Bước 2: Kết hợp các điều kiện

Kết hợp các điều kiện trên, ta có:

- \( x \neq 0 \)
- \( x \neq 1 \)
- \( x \neq -1 \)

Vậy các giá trị của \( x \) để biểu thức \( M \) xác định là:

\[
x \in \mathbb{R} \setminus \{ -1, 0, 1 \}
\]

### Bước 3: Rút gọn biểu thức \( M \)

Phân tích các phần trong biểu thức \( M \):

\[
M = \left( \frac{x+2}{x(x-1)} + \frac{x-2}{x(x+1)} \right) \frac{x^2-1}{x^2+2}
\]

- Thực hiện phép cộng của hai phân số trong ngoặc, tìm mẫu số chung và rút gọn.
- Sau đó nhân với \( \frac{x^2-1}{x^2+2} \).

Xem xét chi tiết hơn cho từng phần sẽ giúp rút gọn \( M \) về dạng đơn giản hơn.

Nếu bạn cần giải cụ thể cho bước rút gọn, hãy cho tôi biết để tôi hỗ trợ thêm!