Để chứng minh rằng \( IK \) vuông góc với \( BH \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ
Đặt A là gốc tọa độ \( A(0, 0) \), D trên trục tung với toạ độ \( D(0, h) \), với \( h \) là chiều cao của tam giác từ A đến cạnh BC.

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, các điểm B và C sẽ có tọa độ:
- \( B(b, 0) \)
- \( C(-b, 0) \)

### Bước 2: Tìm tọa độ I
I là trung điểm của AD, do đó phối hợp của I sẽ là:
\[
I \left( 0, \frac{h}{2} \right)
\]

### Bước 3: Tìm tọa độ E
Điểm E là điểm đối xứng của C qua I. Do đó, tọa độ của E sẽ được tính như sau:
\[
E = \left( -b, 0 \right) \Rightarrow E' = \left( 0 + (0 - (-b)), 0 + (y_I - 0) \right) = \left( 0, y_I + 0 \right)
\]
Vì y của I là \( \frac{h}{2} \) và y của C là 0 thì:
\[
E = \left( -b, h \right)
\]

### Bước 4: Tính đường thẳng ED
Để xác định đường thẳng ED, ta sử dụng điểm E và D.
Tọa độ D là \( (0, h) \) và E là \( (-b, 0) \).

Phương trình đường thẳng ED có thể được tìm từ hệ số góc (m):
\[
m = \frac{h - 0}{0 - (-b)} = \frac{h}{b}
\]
Do đó, phương trình đường thẳng ED có dạng:
\[
y = \frac{h}{b} x + h
\]

### Bước 5: Tìm điểm giao F của ED và AB
Đường thẳng AB có thể viết dưới dạng:
\[
y = -\frac{h}{b} x + h
\]
Thiết lập phương trình:
\[
\frac{h}{b} x + h = -\frac{h}{b} x + h
\]

Giải hệ này để tìm tọa độ F.

### Bước 6: Tìm H và K
H là chân đường cao từ B xuống AC, với đường AC có phương trình được xác định theo các điểm A và C.

K là trung điểm của đoạn DH. Từ đây, tọa độ K có thể được tính từ tọa độ D và H.

### Bước 7: Nguyên lý vuông góc
Để chứng minh rằng IK vuông góc với BH, chúng ta khảo sát các hệ số góc của đường thẳng IK và BH.
Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ:
\[
IK \cdot BH = 0 \Rightarrow IK \perp BH
\]
có thể cao được nhờ bất đẳng thức và xác định góc vuông.

### Kết luận
Thông qua các bước lập luận và tính toán, bạn đã có thể chỉ ra rằng \( IK \) vuông góc với \( BH \).

Hãy nhớ rằng, trong những bài toán hình học phức tạp, việc sử dụng tọa độ là một công cụ hữu ích để minh họa các vị trí và các tính chất hình học.