Để tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta cần biết các thông số như chiều cao và độ dài cạnh đáy.

### Bước 1: Tính chiều cao của hình chóp

Gọi H là chiều cao của hình chóp. Ta có:

- Đáy ABCD là hình vuông với cạnh a = 10 cm.
- Cạnh bên SA = 13 cm.

### Bước 2: Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy

Khoảng cách từ đỉnh S đến trung điểm của cạnh đáy (cạnh AB) được tính theo định lý Pythagore trong tam giác vuông SMC:

- MC = a/2 = 10/2 = 5 cm (vì M là trung điểm của AB).
- SA = 13 cm.

Áp dụng định lý Pythagore:

\[
SM^2 + MC^2 = SA^2
\]

\[
SM^2 + 5^2 = 13^2
\]

\[
SM^2 + 25 = 169
\]

\[
SM^2 = 169 - 25 = 144
\]

\[
SM = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

### Bước 3: Tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều được tính bằng tổng diện tích các tam giác bên. Có 4 tam giác, mỗi tam giác có diện tích:

\[
\text{Diện tích của một tam giác} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]

Trong đó đáy là cạnh đáy a = 10 cm và chiều cao là SM = 12 cm:

\[
\text{Diện tích của một tam giác} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ cm}^2
\]

Vậy, tổng diện tích xung quanh của hình chóp là:

\[
\text{Diện tích xung quanh} = 4 \times 60 = 240 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận

Diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD là \( 240 \text{ cm}^2 \).