Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE; ACFG

Để giải bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần một.

**a. Chứng minh tứ giác BCGE là hình thang cân:**

Đầu tiên, chúng ta biết rằng tứ giác BCGE được tạo ra từ các đỉnh của các hình vuông ABDE và ACFG.

- Ta có:
- Hình vuông ABDE có cạnh AB là cạnh của tam giác vuông ABC, do đó BA = AB.
- Hình vuông ACFG có cạnh AC là cạnh của tam giác vuông ABC, do đó CA = AC.

- Các góc tại điểm B trong hình vuông ABDE là 90° và các góc tại điểm C trong hình vuông ACFG cũng là 90°.

- Do đó, chúng ta có:
- Góc BAE = 90°
- Góc ACF = 90°

Từ đó, ta chứng minh rằng hai góc BA và CA là các góc đối xứng qua đường thẳng AM, tức là:
- BA // GE (cùng vuông góc với AE)
- CA // BG (cùng vuông góc với CF)

Tứ giác BCGE có hai cạnh BC và GE là song song, và BC = GE (cạnh đối diện) nên tứ giác BCGE là hình thang cân.

**b. Gọi K là giao điểm của các tia DE và FG, M là trung điểm của đoạn thẳng EG. Chứng minh 3 điểm K,A,M thẳng hàng:**

- Xét góc BAC. Vì ABDE và ACFG đều là hình vuông, ta có DE và FG đều vuông góc với BC.
- K nằm trên DE và FG, do đó K cũng vuông góc với BC. Điều này có nghĩa là K nằm trên đường thẳng vuông góc từ A đến BC (đường trung trực của BC).
- M là trung điểm của EG, do đó M cũng nằm trên cùng đường thẳng với điểm A và K.

Vậy, ba điểm K, A, M thẳng hàng.

**c. Chứng minh MA vuông góc BC:**

- Từ b), vì A, K, M thẳng hàng và K nằm trên đường thẳng vuông góc với BC sao cho AM vuông góc với BC.

- Khi đó, MA sẽ vuông góc với BC.

**d. Chứng minh góc ANC bằng 90 độ:**

- Đối với góc ANC, do A là một điểm nằm trong hình vuông ACFG, hai cạnh AC và AN là hai cạnh của hình vuông này.

- Do đó, ta có:
- Góc ANC = góc vuông tại A trong tam giác vuông ABC và là góc vuông do đặc điểm của hình vuông.

Vậy, ta có:
- \(\angle ANC = 90^\circ\).

Tóm lại, các phần của bài toán đã được chứng minh.