Để chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành và là hình thoi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước sau đây.

### a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

1. **Chứng minh hai cặp cạnh song song:**
- Vì AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD, nên O là trung điểm của cả hai đường chéo. Đồng thời, O nằm trên đường thẳng m, có nghĩa là M nằm trên cạnh AB và P nằm trên cạnh CD.
- Do m cắt AB tại M và CD tại P, nên đường thẳng MP là một đường thẳng song song với đường thẳng AD (một cạnh của hình bình hành) và BC (cạnh còn lại) vì hai đường này cũng nằm trên cùng một đường thẳng với O, là giao điểm của hai đường chéo.
- Tương tự, với đường thẳng n vuông góc với m, cắt BC tại N và DA tại Q. Do đó, NP là song song với AD và MQ là song song với BC.

2. **Kết luận:**
- Vì MNPQ có hai cặp cạnh đối diện song song (MP // AD và NQ // BC, hoặc MQ // AD và NP // BC), nên MNPQ là một hình bình hành.

### b) Chứng minh MNPQ là hình thoi

Để chứng minh MNPQ là hình thoi, chúng ta cần chứng minh rằng tất cả bốn cạnh của hình MNPQ đều bằng nhau.

1. **Hai đường thẳng m và n:**
- ta biết rằng đường thẳng n vuông góc với m (n ⊥ m). Vì m đi qua O cắt AB và CD lần lượt tại M và P làm cho tất cả các điểm M, N, P, Q nằm trên các đường thẳng đồng chất, có cùng chiều dài.

2. **Tính chất hình thoi:**
- Giả sử n là đường thẳng đi qua O, cắt BC tại N và DA tại Q. Do n ⊥ m, suy ra MN và PQ là các đoạn thẳng vuông góc với các đoạn MP và NQ.
- Khi m làm cho các đoạn MN và PQ, tạo ra hai cặp cạnh đối diện đều vuông góc, thì do đó, kết hợp với điều kiện chiều dài tương đương, MNPQ sẽ là một hình thoi.

3. **Kết luận:**
- Vì MNPQ có độ dài các cạnh bằng nhau (MN = MP = PQ = NQ) và tính chất vuông góc giữa n và m, nên MNPQ là hình thoi.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng hình MNPQ vừa là hình bình hành vừa là hình thoi, hoàn thành bài toán đã đề ra.