Để tính hợp lý biểu thức \( A = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{36} + \frac{1}{45} \), chúng ta sẽ tìm một mẫu số chung và thực hiện cộng các phân số.

**Bước 1: Tìm mẫu số chung**

Mẫu số chung nhỏ nhất của các số: \( 3, 6, 10, 12, 21, 28, 36, 45 \).

- Phân tích thành các thừa số nguyên tố:
- \( 3 = 3^1 \)
- \( 6 = 2^1 \times 3^1 \)
- \( 10 = 2^1 \times 5^1 \)
- \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- \( 21 = 3^1 \times 7^1 \)
- \( 28 = 2^2 \times 7^1 \)
- \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
- \( 45 = 3^2 \times 5^1 \)

Mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) sẽ là:
- \( 2^2 \) (từ 12, 28, 36)
- \( 3^2 \) (từ 36, 45)
- \( 5^1 \) (từ 10, 45)
- \( 7^1 \) (từ 21, 28)

LCM = \( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 9 \times 5 \times 7 \).

Tính từng bước:
- \( 4 \times 9 = 36 \)
- \( 36 \times 5 = 180 \)
- \( 180 \times 7 = 1260 \)

Vậy mẫu số chung là \( 1260 \).

**Bước 2: Chuyển đổi các phân số về mẫu số chung**

\[
\begin{align*}
\frac{1}{3} & = \frac{420}{1260}, \\
\frac{1}{6} & = \frac{210}{1260}, \\
\frac{1}{10} & = \frac{126}{1260}, \\
\frac{1}{12} & = \frac{105}{1260}, \\
\frac{1}{21} & = \frac{60}{1260}, \\
\frac{1}{28} & = \frac{45}{1260}, \\
\frac{1}{36} & = \frac{35}{1260}, \\
\frac{1}{45} & = \frac{28}{1260}.
\end{align*}
\]

**Bước 3: Cộng các phân số**

Cộng các tử số:
\[
420 + 210 + 126 + 105 + 60 + 45 + 35 + 28 = 1029.
\]

Vậy ta có:
\[
A = \frac{1029}{1260}.
\]

**Bước 4: Rút gọn biểu thức**

Tìm ước số chung lớn nhất (GCD) của \( 1029 \) và \( 1260 \). Sử dụng thuật toán Euclid:

- \( 1260 = 1029 \times 1 + 231 \)
- \( 1029 = 231 \times 4 + 105 \)
- \( 231 = 105 \times 2 + 21 \)
- \( 105 = 21 \times 5 + 0 \)

Vậy GCD là \( 21 \).

Chia cả tử và mẫu cho \( 21 \):
\[
\frac{1029 \div 21}{1260 \div 21} = \frac{49}{60}.
\]

**Kết luận:**
\[
A = \frac{49}{60}.
\]