Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng câu hỏi một:

### a) Tứ giác MBOA là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \( MBOA \) là hình chữ nhật. Bởi vì các tiếp tuyến \( MA \) và \( MB \) vuông góc với nhau tại điểm \( M \), đồng thời OA và OB đều là bán kính của đường tròn (mang tính chất vuông góc với các tiếp tuyến tại tiếp điểm). Do đó, ta có:
- \( MA \perp OA \)
- \( MB \perp OB \)
Vì vậy, \( MBOA \) là hình chữ nhật.

### b) Gọi \( C \) là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ \( AB \). Qua \( C \) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MA, MB thứ tự tại \( D \) và \( E \). Tính chu vi tam giác \( MDE \).

Để tính chu vi tam giác \( MDE \), ta cần tính độ dài ba cạnh \( MD \), \( ME \) và \( DE \).

- **Cạnh \( MD \)**: Từ tính chất tiếp tuyến, ta có chiều dài \( MD = MA \).
- **Cạnh \( ME \)**: Tương tự, ta có chiều dài \( ME = MB \).
- **Cạnh \( DE \)**: Theo định lý tiếp tuyến, \( DE \) sẽ bằng đoạn nối giữa hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn qua điểm \( C \).

Chu vi tam giác \( MDE \) được tính bằng:
\[
P = MD + ME + DE.
\]
Với \( MA \) và \( MB \) đều bằng độ dài tiếp tuyến từ điểm \( M \) đến đường tròn \( (O; 2cm) \).

### c) Tính số đo góc \( DOE \).

Tại điểm \( D \) và \( E \), theo định lý về tiếp tuyến và bán kính, ta có:
- \( OD \perp MA \)
- \( OE \perp MB \)

Vì \( MA \) và \( MB \) vuông góc với nhau tại \( M \), và \( O \) là tâm đường tròn, góc \( DOE \) có thể được tính theo tính chất hình học, với công thức:
\[
\angle DOE = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ.
\]
Do đó, số đo góc \( DOE \) là \( 45^\circ \).