Để giải phương trình \( x^2 + (m-2)x - 8 = 0 \) khi \( m = 4 \), ta thay \( m \) vào phương trình:

\[
x^2 + (4-2)x - 8 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

Nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) được tính theo công thức:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -8 \):

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\]

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[
x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2}
\]

Tính ra:

\[
x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x_1 = 2 \) và \( x_2 = -4 \).

### b) Tìm các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) sao cho biểu thức \( Q = (x_1^2 - 1)(x_2^2 - 4) \) có giá trị lớn nhất.

Biểu thức có thể được viết lại như sau:

\[
Q = (x_1^2 - 1)(x_2^2 - 4) = (x_1^2 - 1)((x_2^2 - 4))
\]

Với \( x_1, x_2 \) là các nghiệm của phương trình bậc hai khi biết rằng chúng có thể được biểu diễn qua tham số \( m \).

Sử dụng hệ thức Viète: \( x_1 + x_2 = -(m-2) \) và \( x_1 x_2 = -8 \).

Từ đó, biến đổi và tìm cực trị của \( Q \) phụ thuộc vào việc xác định \( m \) và sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp cực trị khác.

Để \( Q \) đạt giá trị lớn nhất, bạn cần phân tích kỹ hơn theo hàm số phản ánh các giá trị của \( m \) thông qua các điều kiện về \( x_1 \) và \( x_2 \).