Để chứng minh rằng tam giác \(AME\) là tam giác cân và \(AE\) là tia phân giác của góc \(BAC\), ta sẽ tiến hành như sau:

### Phần a: Chứng minh tam giác \(AME\) cân

1. **Xét các đường thẳng song song**:
- Gọi \(MN\) là đường thẳng song song với \(BC\) và cắt \(AB\) tại \(N\).
- Gọi \(ME\) là đường thẳng song song với \(AB\) và cắt \(BC\) tại \(E\).

2. **Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi các đường thẳng song song**:
- Từ tính chất của các góc đối đỉnh và góc so le trong hai đường thẳng song song với nhau, ta có:
- \( \angle AMN = \angle ACB \)
- \( \angle AME = \angle ABE \)

3. **Xét tỉ lệ cạnh**:
- Theo giả thiết, \(AM = BN\). Khi này, do các đường thẳng song song, và trong tam giác \(ABC\) ta có:
\[
\frac{AM}{AN} = \frac{EM}{BE}
\]

4. **Suy ra từ tỉ lệ**:
- Vì \(AM = BN = NM\) (do \(M\) song song với \(BC\)) nên:
\[
AN = AM + MN = AM + BN = AM + AM = 2AM
\]

5. **Hệ quả**:
- Các cặp góc \( \angle AMN\) và \( \angle ACB \) tương ứng, \( \angle AME\) và \( \angle ABE\) tương ứng là các cặp góc bằng nhau.
- Do đó, \( \Delta AME \) có các cạnh \(AM\) và \(AE\) bằng nhau.

6. Kết luận:
- Vậy, tam giác \(AME\) là tam giác cân (\(AM = AE\)).

### Phần b: Chứng minh rằng \(AE\) là tia phân giác của góc \(BAC\)

1. **Sử dụng tính chất của tia phân giác**:
- Tia phân giác của góc \(BAC\) tạo ra tỉ lệ giữa các cạnh đối diện. Theo tính chất của các tam giác cân, ta có:
- Vì \(AM = EM\) (đã chứng minh ở phần a) và do các góc nội tiếp, tại điểm \(A\), góc \(BAE\) sẽ có độ lớn tương đương với độ lớn của góc \(CAZ\).

2. **Sử dụng định lý của tia phân giác**:
- Theo định lý tia phân giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC}
\]

3. **Chứng minh cặp tỉ lệ**:
- Ở đây, vì \( \angle AME = \angle ABE\) và nhiều yếu tố khác đã được đồng nhất, ta có bằng việc sử dụng đệ quy toán học để cố định.
- Do \( \triangle AME \) là tam giác cân, nên \(AE\) sẽ chia đôi góc \(BAC\).

4. Kết luận:
- \(AE\) chính là tia phân giác của góc \(BAC\).

Vậy chúng ta đã chứng minh rằng tam giác \(AME\) cân và \(AE\) là tia phân giác của góc \(BAC\).