Cho phương trình x^2 + 2(m−1)x − (m+1) = 0. Tìm m để phương trình có một nghiệm < 1, một nghiệm > 1

Để tìm các giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( x^2 + 2(m-1)x - (m+1) = 0 \) có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra các điều kiện cần thiết.

1. **Tính delta**:
Phương trình có dạng tổng quát \( ax^2 + bx + c = 0 \) với:
- \( a = 1 \)
- \( b = 2(m-1) \)
- \( c = -(m+1) \)

Tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (- (m+1))
\]
\[
\Delta = 4(m-1)^2 + 4(m+1) = 4((m-1)^2 + (m+1))
\]
\[
= 4(m^2 - 2m + 1 + m + 1) = 4(m^2 - m + 2)
\]

Để phương trình có nghiệm, \( \Delta \) phải lớn hơn hoặc bằng 0:
\[
m^2 - m + 2 \geq 0
\]
Phương trình bậc 2 này luôn lớn hơn 0 với mọi \( m \) (vì delta của nó là âm: \( (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0 \)).

Do đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \( m \).

2. **Tìm điều kiện nghiệm**:
Giả sử hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Để có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1, theo định lý Viète, ta có:
- Tổng các nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2(m-1) \)
- Tích các nghiệm \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -(m+1) \)

Ta cần: \( x_1 < 1 \) và \( x_2 > 1 \). Do đó, tổng nghiệm sẽ thỏa mãn:
\[
x_1 + x_2 \geq 1 + 1 = 2 \implies -2(m-1) \geq 2 \implies m - 1 \leq -1 \implies m \leq 0.
\]
Và điều kiện tích nghiệm:
\[
x_1 \cdot x_2 < 1 \implies -(m+1) < 1 \implies m + 1 > -1 \implies m > -2.
\]

3. **Kết luận**:
Từ các điều kiện trên, ta có:
\[
-2 < m \leq 0.
\]
Dạng khoảng cho \( m \) là:
\[
(-2, 0].
\]
Vậy các giá trị của \( m \) để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1 là \( -2 < m \leq 0 \).