Để chứng minh các yêu cầu trong bài, ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Chứng minh △ABD = △HDB

**Để chứng minh △ABD = △HDB, ta có thể sử dụng nguyên lý đồng dạng hoặc dấu hiệu chứng minh tam giác bằng nhau.**

1. **Góc:**
- Ở △ABD, ta có góc A = 90° (vì ABCD là hình vuông).
- Ở △HDB, góc H = 90° (vì BH vuông góc với CD).

2. **Cạnh:**
- AB = AD = 2 cm (cạnh của hình vuông).
- HD = HB (đều là độ dài HS, điểm H là trung điểm của BD).

3. **Cạnh huyền:**
- BD là cạnh chung.

***Do đó, từ yếu tố góc, cạnh và cạnh huyền, ta kết luận:***
\[
△ABD = △HDB \text{ (theo dấu hiệu cạnh-góc-cạnh - CGC)}
\]

---

### b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H

**Để chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H, ta làm như sau:**

1. **Góc BHC:** Ta đã biết rằng BH vuông góc với CD (điều đã cho trong đề bài).
2. **Cạnh:**
- Ta đã chứng minh rằng HB = HC (điểm H là trung điểm của BC).

*Vì vậy, tại H góc H = 90° và HB = HC, ta có:*
\[
△BHC \text{ vuông cân tại H}
\]

---

### c) Tính diện tích hình thang ABCD

**Diện tích của hình thang được tính theo công thức:**

\[
S = \frac{(a + b)}{2} \times h
\]

Trong đó:
- **a** và **b** là chiều dài hai cạnh đáy (AB, CD).
- **h** là chiều cao (AD).

**Cụ thể:**
- a = AB = 2 cm
- b = CD = 4 cm
- h = AD = 2 cm

Thay vào công thức:
\[
S = \frac{(2 + 4)}{2} \times 2 = \frac{6}{2} \times 2 = 3 \times 2 = 6 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận:
- a) \( △ABD = △HDB \)
- b) \( △BHC \text{ vuông cân tại H} \)
- c) Diện tích hình thang ABCD là \( 6 \text{ cm}^2 \)