Để chứng minh rằng \( A = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 > 0 \), ta bắt đầu từ định lý bất đẳng thức trong tam giác.

Trước tiên, ta có điều kiện là \( a, b, c \) là ba cạnh của một tam giác. Theo định lý tam giác, ta có:

1. \( a + b > c \)
2. \( a + c > b \)
3. \( b + c > a \)

Từ bất đẳng thức \( a + b > c \), chúng ta có:

\[
a^2 + b^2 > c^2 \quad (1)
\]

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức này để tiếp tục chứng minh:

Xét biểu thức \( A \):

\[
A = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2
\]

Mở rộng biểu thức \( (a^2 + b^2 - c^2)^2 \):

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2
\]

Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = 4a^2b^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2)
\]

\[
= 4a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 - 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2
\]

\[
= 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2
\]

Để chứng minh \( A > 0 \), ta sẽ chuyển sang tính chất không âm của các đa thức.

Ta biết rằng \( c^2 < a^2 + b^2 \) theo bất đẳng thức tam giác, do đó:

\[
(a^2 + b^2 - c^2) > 0
\]

Nếu ta đặt \( x = a^2 + b^2 - c^2 \), ta có \( x > 0 \).

Khi đó, ta sẽ đi chứng minh \( A \) theo biến \( x \):

\[
A = 4a^2b^2 - x^2
\]
với \( x^2 < 4a^2b^2 \) bởi vì \( x \) nhỏ hơn \( 2\sqrt{a^2b^2} \) (do bất đẳng thức AM-GM), điều này suy ra:

\[
A > 0
\]

Vậy nên, ta có:

\( A = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 > 0 \).

Cuối cùng, đã được chứng minh rằng \( A > 0 \) khi \( a, b, c \) là cạnh của tam giác.