Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các yếu tố hình học và tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác DEF vuông tại D. Dưới đây là hướng dẫn từng bước:

### Bài 3

**Cho tam giác DEF vuông tại D với DE > DF. DM là đường trung tuyến.**

#### a) Tứ giác DKMN là hình gì?

- **Chứng minh:**
- Trong tam giác vuông DEF, chúng ta có DM là đường trung tuyến nên DM sẽ chia đoạn EF thành 2 phần bằng nhau.
- HM là đường vuông góc tại điểm M đến DE, và MK là đường vuông góc tại điểm M đến DF.
- Khi H được lấy sao cho N là trung điểm của MH, ta thấy H nằm trên đường xiên MN.
- Vì DE và DF vuông góc với nhau tại D, và DK, DM cũng đều vuông góc, ta có thể kết luận rằng DKMN là hình chữ nhật.
- Nếu DK = DM, thì tứ giác DKMN là hình vuông.

#### b) Gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh 3 điểm H, O, F thẳng hàng.

- **Chứng minh:**
- Bởi vì O là trung điểm của DM và M là điểm trên DE, N là trung điểm của MH nên MN = NH.
- Từ đó, ta biết rằng MF = MD (bởi tính chất của các trung tuyến trong tam giác vuông).
- Khi H nằm trên tia MN, và NM vuông góc với DE và DF, thì 3 điểm H, O, F trở thành một đường thẳng do tính chất của hình học Euclid: Nếu một đường thẳng cắt một đường khác, thì tất cả các điểm trên đường thẳng đó sẽ thỏa mãn điều kiện thẳng hàng.

#### c) Tam giác DEF cần thêm điều kiện gì để tứ giác DKMN là hình vuông?

- **Điều kiện:**
- Để tứ giác DKMN là hình vuông, cần có thêm điều kiện rằng DM = DK. Điều này nghĩa là độ dài của trung tuyến DM phải bằng độ dài của DK.
- Để thỏa mãn điều kiện này, tam giác DEF cần phải là một tam giác vuông cân, tức là DE = DF.

### Hình vẽ
- Vẽ tam giác DEF vuông tại D.
- Vẽ đường trung tuyến DM.
- Vẽ đường vuông góc MN từ M đến DE và MK từ M đến DF.
- Vẽ H trên tia MN sao cho N là trung điểm của MH.

### Kết luận

Tứ giác DKMN là hình chữ nhật. Để H, O, F thẳng hàng, cần chứng minh các tính chất của các đoạn thẳng, và để là hình vuông, cần thêm điều kiện tam giác DEF là vuông cân.