Để chứng minh rằng \( x = y = z \), chúng ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
\frac{x - y}{z} = \frac{y - z}{x}
\]

Chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Tách biệt các biến**: Nhân chéo các phần tử trong phương trình:

\[
(x - y)x = (y - z)z
\]

2. **Mở rộng hai bên**:

\[
x^2 - xy = yz - z^2
\]

3. **Sắp xếp lại các hạng tử**:

\[
x^2 - xy - yz + z^2 = 0
\]

4. **Chuyển thành phương trình bậc hai theo \( x \)**:

Phương trình trên có thể viết lại dưới dạng:

\[
x^2 - (y + z)x + z^2 - yz = 0
\]

5. **Áp dụng định lý Viète**: Để phương trình này có nghiệm, discriminant (định thức) của nó phải không âm:

\[
D = (y + z)^2 - 4(z^2 - yz) \geq 0
\]

6. **Kiểm tra điều kiện**:

Biểu thức này cần được kiểm tra để chứng minh rằng có giải pháp cho \( x, y, z > 0 \).

Nếu \( x = y = z \), ta có thể thử giá trị cụ thể. Giả sử \( x = y = z = k \), ta có:

\[
\frac{k - k}{k} = \frac{k - k}{k} \implies 0 = 0
\]

Như vậy, \( x = y = z \) là một nghiệm hợp lệ.

Kết luận, bất cứ khi nào phương trình đã cho thật sự đúng, chúng ta chứng minh rằng \( x = y = z \) là một nghiệm.