Để giải hệ phương trình cho các trường hợp với \( m = -1 \) và tìm giá trị \( m \) sao cho hệ có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x + y = 2 \), ta làm như sau:

### a. Giải hệ phương trình với \( m = -1 \)

Hệ phương trình là:
\[
\begin{cases}
3x + 5y = -1 \\
2x + y = 1
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải phương trình thứ hai để tìm \( y \):
\[
y = 1 - 2x
\]
Sau đó thay \( y \) vào phương trình thứ nhất:
\[
3x + 5(1 - 2x) = -1
\]
Cẩn thận khai triển biểu thức:
\[
3x + 5 - 10x = -1
\]
\[
-7x + 5 = -1
\]
\[
-7x = -1 - 5
\]
\[
-7x = -6 \implies x = \frac{6}{7}
\]

Bây giờ thay \( x \) vào phương trình tìm \( y \):
\[
y = 1 - 2\left(\frac{6}{7}\right) = 1 - \frac{12}{7} = \frac{7}{7} - \frac{12}{7} = -\frac{5}{7}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình với \( m = -1 \) là:
\[
\left(x, y\right) = \left(\frac{6}{7}, -\frac{5}{7}\right)
\]

### b. Tìm \( m \) để hệ có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x + y = 2 \)

Ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
3x + 5y = m \\
2x + y = 1
\end{cases}
\]

Từ điều kiện \( x + y = 2 \), ta thay \( y \) từ phương trình này vào phương trình thứ hai:
\[
y = 2 - x
\]
Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2x + (2 - x) = 1
\]
\[
2x + 2 - x = 1
\]
\[
x + 2 = 1 \implies x = 1 - 2 = -1
\]

Thay \( x = -1 \) vào \( y = 2 - x \):
\[
y = 2 - (-1) = 3
\]

Vậy nghiệm là \( (x, y) = (-1, 3) \). Ta sử dụng giá trị này để tìm \( m \):
Thay vào phương trình đầu tiên:
\[
3(-1) + 5(3) = m
\]
\[
-3 + 15 = m \implies m = 12
\]

### Kết luận
a. Khi \( m = -1 \), nghiệm của hệ là \( \left(\frac{6}{7}, -\frac{5}{7}\right) \).
b. Giá trị \( m \) để hệ có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x + y = 2 \) là \( m = 12 \).