Để giải phương trình lượng giác \( \sin 5x + \sin x = 2 \sin 3x \), ta có thể sử dụng một số công thức lượng giác và biến đổi bằng cách sử dụng những tính chất của hàm sin.

Bắt đầu bằng cách áp dụng công thức tổng bằng hiệu cho \( \sin 5x \) và \( \sin x \):

\[
\sin 5x + \sin x = 2 \sin\left(\frac{5x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x - x}{2}\right) = 2 \sin(3x) \cos(2x)
\]

Khi đó, phương trình trở thành:

\[
2 \sin(3x) \cos(2x) = 2 \sin(3x)
\]

Chia hai bên cho 2 (nếu \(\sin 3x \neq 0\)):

\[
\sin(3x) \cos(2x) = \sin(3x)
\]

Vậy có 2 trường hợp:

1. \( \sin 3x = 0 \)
2. \( \cos(2x) = 1 \)

### Trường hợp 1: \( \sin 3x = 0 \)

Điều này xảy ra khi:

\[
3x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

### Trường hợp 2: \( \cos(2x) = 1 \)

Điều này xảy ra khi:

\[
2x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

### Kết luận

Giải tổng quát của phương trình là:

\[
x = \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{và} \quad x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

Bạn có thể lấy các giá trị cụ thể của \(k\) và \(n\) để tìm ra các nghiệm cụ thể.