Để chứng minh các biểu thức trong hình đều dương với mọi \( x \), ta sẽ kiểm tra tính bất phương trình bậc hai trong từng trường hợp.

### 1) \( A = -x^2 - x + 1 \)
Biểu thức này có thể được viết lại thành \( A = - (x^2 + x - 1) \). Tuy nhiên, vì \( -1 \) không phải là biểu thức dương, ta không thể khẳng định \( A > 0 \) cho mọi \( x \).

### 2) \( B = 3x^2 + 8x + 1 \)
Đây là một đa thức bậc hai với hệ số trước \( x^2 \) dương. Ta kiểm tra nghiệm của phương trình \( B = 0 \):

\[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 64 - 12 = 52 > 0
\]

Vì \( D > 0 \), \( B = 3x^2 + 8x + 1 \) có hai nghiệm thực và hàm số đạt giá trị âm tại những nghiệm đó, nhưng khi xét tổng thể, hàm này là một parabol mở lên nên giá trị lớn nhất tại nghiệm sẽ nhỏ hơn 0.

### 3) \( C = x^2 + 2x + 20 \)
Ta tính nghiệm của phương trình này:

\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 4 - 80 = -76 < 0
\]

Vì \( D < 0 \), \( C \) luôn dương với mọi \( x \).

### 4) \( A = x^2 - 5x + 20 \)
Tương tự như trên:

\[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 25 - 80 = -55 < 0
\]

Do đó, \( A \) luôn dương với mọi \( x \).

### 5) \( B = x^2 - 8x + 20 \)
Kiểm tra:

\[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16 < 0
\]

Vì vậy, \( B \) cũng luôn dương với mọi \( x \).

### 6) \( C = x^2 - 8x + 17 \)
Có:

\[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4 < 0
\]

Ý nghĩa là \( C \) cũng luôn dương.

### 7) \( A = x^2 - 6x + 10 \)
Tương tự:

\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 < 0
\]

Thì \( A \) luôn dương với mọi \( x \).

### 8) \( B = 9x^2 - 6x + 2 \)
Thực hiện:

\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 36 - 72 = -36 < 0
\]

Nên \( B \) luôn dương.

### 9) \( J = 2x^2 - 8x + 45 \)
Cũng tính:

\[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 45 = 64 - 360 = -296 < 0
\]

Vậy \( J \) cũng luôn dương.

Tóm lại, trong các trường hợp từ 2 đến 9, mỗi biểu thức là dương với mọi giá trị của \( x \) trừ trường hợp 1.