Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A và đi qua điểm C

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu.

### a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

Đầu tiên, chúng ta tính tọa độ các điểm:
- \( B(3; 7) \)
- \( C(4; 0) \)

Tính hệ số góc \( k \) của đường thẳng BC:
\[
k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{0 - 7}{4 - 3} = -7
\]

Sử dụng phương trình đường thẳng đi qua điểm B với hệ số góc k:
\[
y - y_B = k(x - x_B)
\]
\[
y - 7 = -7(x - 3)
\]
\[
y - 7 = -7x + 21
\]
\[
y = -7x + 28
\]

Chuyển đổi về dạng tổng quát:
\[
7x + y - 28 = 0
\]
**Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:** \( 7x + y - 28 = 0 \).

### b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A và đi qua điểm C.

Tâm A có tọa độ \( A(-1; 2) \) và điểm C có tọa độ \( C(4; 0) \). Tính bán kính r là khoảng cách từ A đến C:
\[
r = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(4 + 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}
\]

Phương trình đường tròn có dạng:
\[
(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2
\]
Thay các tọa độ \( A(-1; 2) \) và \( r^2 = 29 \):
\[
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 29
\]

**Vậy phương trình đường tròn (C) là:** \( (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 29 \).

### c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm N(-3; 1).

Để tìm phương trình tiếp tuyến, ta cần tính khoảng cách từ tâm A đến điểm N. Đầu tiên, xác nhận N có nằm trên đường tròn không:
\[
(-3 + 1)^2 + (1 - 2)^2 = 29
\]
\[
(-2)^2 + (-1)^2 = 29
\]
\[
4 + 1 = 29 \quad \text{sai}
\]
**Điểm N không nằm trên đường tròn (C).**

Để tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm N, ta sử dụng hệ số góc của đoạn thẳng AN:
\[
k = \frac{y_N - y_A}{x_N - x_A} = \frac{1 - 2}{-3 - (-1)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}
\]
Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là -k:
\[
k_{tiếp \: tuyến} = -\frac{1}{2}
\]

Sử dụng phương trình tiếp tuyến tại điểm N(-3; 1):
\[
y - y_N = k_{tiếp \: tuyến}(x - x_N)
\]
\[
y - 1 = -\frac{1}{2}(x + 3)
\]
\[
y - 1 = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}
\]
\[
y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
\]

Chuyển đổi về dạng tổng quát:
\[
x + 2y + 1 = 0
\]

**Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm N là:** \( x + 2y + 1 = 0 \).