Để giải phương trình lượng giác:

\[
\sin(2x + \frac{\pi}{4}) + \cos x = 0
\]

Ta có thể sử dụng công thức biến đổi. Bắt đầu từ công thức sin của tổng angle:

\[
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]

Áp dụng cho \(\sin(2x + \frac{\pi}{4})\):

\[
\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sin(2x) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos(2x) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
\]
\[
= \sin(2x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(2x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
= \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin(2x) + \cos(2x))
\]

Thay vào phương trình ban đầu:

\[
\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin(2x) + \cos(2x)) + \cos x = 0
\]

Nhân cả hai vế với 2 để bỏ đi mẫu số:

\[
\sqrt{2} (\sin(2x) + \cos(2x)) + 2 \cos x = 0
\]

Phân tích \(\sin(2x) + \cos(2x)\) dưới dạng khác:

\[
\sin(2x) + \cos(2x) = \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)
\]

Vậy ta có:

\[
\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos x = 0
\]
\[
2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 2 \cos x = 0
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos x = 0
\]

Giải phương trình này sẽ khó hơn vì có cả hai hàm sin và cos. Ta có thể đưa cos về sin bằng công thức \(\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\), nhưng phương pháp đơn giản hơn là dùng phương pháp đồ thị hoặc giá trị cụ thể của x trong khoảng \([0, 2\pi]\).

Một phương pháp tiềm năng là thử nghiệm các giá trị cho x để tìm nghiệm trong khoảng [0, 2π]. Thay x các giá trị cho đến khi phương trình được thỏa mãn, sau đó mở rộng ra cả các giá trị của x theo chu kỳ 2π.

Các nghiệm có thể xảy ra là \(x = n\pi\) hoặc \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) cho \(k \in \mathbb{Z}\). Xác định chính xác các giá trị có thể yêu cầu phải kiểm tra từng trị cụ thể.