Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = (x - 1)^4 + (x - 3)^4 + 6(x - 1)^2 (x - 3)^2 \), ta có thể đặt \( y = (x - 1)(x - 3) \).

Khi đó, ta có:

\[
A = (x - 1)^4 + (x - 3)^4 + 6(x - 1)^2 (x - 3)^2
\]

Bây giờ, ta có thể biểu diễn lại \( A \):

\[
A = (u^2 + v^2 + 6uv) \quad \text{với } u = (x - 1)^2 \text{ và } v = (x - 3)^2
\]

Ta sử dụng công thức tổng bình phương:

\[
A = u^2 + v^2 + 6uv = (u + v)^2 + 4uv
\]

Sau khi thay \( v = (x - 3)^2 \) và \( u = (x - 1)^2 \), giá trị này được tối ưu hóa tại những giá trị cụ thể. Thực hiện đạo hàm của \( A \) theo biến \( x \) và tìm cực trị có thể là một cách để tìm giá trị nhỏ nhất.

Tuy nhiên, cũng có thể trực tiếp tính các giá trị cho \( x = 2 \) (giá trị trung bình giữa 1 và 3):

\[
A = (2 - 1)^4 + (2 - 3)^4 + 6(2 - 1)^2(2 - 3)^2
\]
\[
= 1^4 + (-1)^4 + 6 \cdot 1^2 \cdot (-1)^2
\]
\[
= 1 + 1 + 6 \cdot 1 \cdot 1
\]
\[
= 1 + 1 + 6 = 8
\]

Kiểm tra giá trị này và có thể thấy rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{8}
\]