Chứng minh BD là trung trực của AE; Chứng minh tam giác DKC cân; BCK đều; AE // KC

Để chứng minh các khẳng định trong bài toán hình học này, ta sẽ sử dụng một số định lý cơ bản về tam giác và các tính chất của hình học phẳng. Dưới đây là hướng dẫn cho từng phần:

a) **Chứng minh \( AB = BE \):**
- Ta có \( D \) là trung điểm của \( AB \). Từ đó, suy ra \( AD = DB \).
- Vì \( BD \) là phân giác của \(\angle ABC\) với \( \angle ABD = \angle DBC \), theo định lý phân giác ta có \( AB/BE = AD/DB = 1 \) (do \( AD = DB \)).
- Vậy, từ đó suy ra \( AB = BE \).

b) **Chứng minh \( BD \) là trung trực của \( AE \):**
- Để chứng minh \( BD \) là trung trực của \( AE \), ta cần chứng minh rằng \( AB \) và \( BE \) là hai cạnh bằng nhau và \( D \) là điểm giữa của \( AE \).
- Từ phần a), ta đã có \( AB = BE \).
- Vì \( D \) là trung điểm, ta suy ra \( AD = DE \). Từ đó, \( BD \) sẽ là trung trực của \( AE \).

c) **Chứng minh tam giác \( DKC \) là tam giác cân:**
- Ta có \( DK = DC \) (do \( D \) nằm trên trung trực của \( KC \)), do đó \( \triangle DKC \) là tam giác cân.

d) **Chứng minh tam giác \( BCK \) đều:**
- Nếu \( BC = BK \) và \( BK = CK \) thì \( BC = CK \).
- Vậy, ta có \( BCK \) là tam giác đều.

e) **Chứng minh \( AE \parallel KC \):**
- Từ tính chất của các đường thẳng song song: Nếu \( BD \) là phân giác và \( BDE \) với \( D \) là trung điểm, thì các đoạn thẳng sẽ có cùng độ dài. Do \( AE \) và \( KC \) song song với độ dài tương ứng.
- Vậy ta có \( AE \parallel KC \).

Hy vọng những hướng dẫn trên sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình làm bài!