Gọi số có ba chữ số cần tìm là \( x = 100a + 10b + 6 \), trong đó \( a \) và \( b \) lần lượt là chữ số ở hàng trăm và hàng chục của \( x \). Vì số có ba chữ số nên \( a \) phải thuộc khoảng từ 1 đến 9, còn \( b \) thuộc khoảng từ 0 đến 9.

Khi chuyển chữ số 6 lên đầu, ta được số mới:
\[
y = 600 + 10a + b
\]

Theo điều kiện của bài toán, ta có:
\[
y = 5x + 31
\]

Thay các biểu thức \( y \) và \( x \) vào phương trình:
\[
600 + 10a + b = 5(100a + 10b + 6) + 31
\]

Giải phương trình này:
\[
600 + 10a + b = 500a + 50b + 30 + 31
\]
\[
600 + 10a + b = 500a + 50b + 61
\]
\[
600 - 61 = 500a - 10a + 50b - b
\]
\[
539 = 490a + 49b
\]
\[
539 = 49(10a + b)
\]

Chia cả hai vế cho 49:
\[
11 = 10a + b
\]

Từ phương trình này, ta có:
\[
b = 11 - 10a
\]

Bây giờ ta xem \( a \) từ 1 đến 9 và tìm giá trị phù hợp cho \( b \):

1. Nếu \( a = 1 \):
\[
b = 11 - 10 \times 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 116
\]

2. Nếu \( a = 2 \):
\[
b = 11 - 10 \times 2 = -9 \quad \Rightarrow \quad \text{không hợp lệ}
\]

Ta thấy chỉ có \( a = 1 \) và \( b = 1 \) là thích hợp.

Số ban đầu là:
\[
x = 116
\]

Kiểm tra điều kiện:
- Chuyển 6 lên đầu thì được \( y = 611 \).
- Chia \( 611 \) cho \( 116 \):
\[
611 \div 116 = 5 \quad \text{và dư} \quad 31
\]

Vậy số cần tìm là \( \boxed{116} \).