Gọi \(N\) là số kẹo cô giáo có và \(n\) là số em. Theo bài toán, ta có hai điều kiện:

1. Nếu chia cho mỗi em 5 chiếc thì thừa 3 chiếc:
\[
N = 5n + 3
\]

2. Nếu chia cho mỗi em 6 chiếc thì thiếu 5 chiếc:
\[
N = 6n - 5
\]

Bây giờ chúng ta có hai phương trình. Ta có thể đưa hai phương trình này về một phương trình duy nhất. Bằng cách đặt phương trình thứ nhất bằng phương trình thứ hai, ta được:

\[
5n + 3 = 6n - 5
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
3 + 5 = 6n - 5n
\]
\[
8 = n
\]

Vậy số em \(n\) là 8. Thay giá trị \(n\) vào một trong hai phương trình để tính \(N\):

\[
N = 5n + 3 = 5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43
\]

Vậy cô giáo có 43 cái kẹo.