Để chứng minh hai đẳng thức đã cho, ta sẽ làm từng phần một:

### 1. Chứng minh đẳng thức:
\[
(\cos a)^4 - (\sin a)^4 = \cos^2 a - \sin^2 a
\]

**Bước 1:** Sử dụng hằng đẳng thức hiệu của hai luỹ thừa:
\[
x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)
\]
Với \( x = \cos a \) và \( y = \sin a \):

\[
(\cos a)^4 - (\sin a)^4 = (\cos^2 a + \sin^2 a)(\cos^2 a - \sin^2 a)
\]

**Bước 2:** Biết rằng:
\[
\cos^2 a + \sin^2 a = 1
\]
Do đó, ta có:
\[
(\cos^4 a - \sin^4 a) = 1 \cdot (\cos^2 a - \sin^2 a) = \cos^2 a - \sin^2 a
\]
Vậy đẳng thức 1 đúng.

### 2. Chứng minh đẳng thức:
\[
\sin^4 a + \cos^2 a \cdot \sin^2 a + \sin^2 a = 2 \sin^2 a
\]

**Bước 1:** Gộp các hạng tử lại:
\[
\sin^4 a + \sin^2 a + \cos^2 a \cdot \sin^2 a
\]
Thay \( \cos^2 a = 1 - \sin^2 a \):
\[
= \sin^4 a + \sin^2 a + (1 - \sin^2 a) \sin^2 a
\]
\[
= \sin^4 a + \sin^2 a + \sin^2 a - \sin^4 a
\]
\[
= 2 \sin^2 a
\]

Vậy đẳng thức 2 cũng đúng.

### Kết luận:
Hai đẳng thức đã chứng minh là đúng:
1. \((\cos a)^4 - (\sin a)^4 = \cos^2 a - \sin^2 a\)
2. \(\sin^4 a + \cos^2 a \sin^2 a + \sin^2 a = 2 \sin^2 a\)