Để chứng minh các tính chất của tứ giác \( BEDC \) trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh \( BEDC \) là hình thang cân.

1. **Định nghĩa hình thang cân**: Tứ giác được gọi là hình thang cân nếu hai cạnh đáy của nó song song và hai cạnh bên bằng nhau.

2. **Cân trong tam giác**: Do \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), \( AB = AC \).

3. **Phân giác**: Theo định lý về phân giác, tứ giác \( BEDC \) sẽ có các điểm \( D \) và \( E \) nằm trên hai cạnh phân giác \( BD \) và \( CE \) của tam giác \( ABC \).

4. **Các góc tại \( O \)**: Do \( BD \) và \( CE \) là các phân giác, chúng sẽ cắt nhau tại điểm \( O \), và từ đó chúng ta có \( \angle OBD = \angle OCE \).

5. **Các đặc điểm khác**: Lưu ý rằng vì các góc này được tạo nên bởi các phân giác của tam giác cân, nên \( \angle OBD + \angle OCE = 180^\circ \).

6. **Xét các cặp cạnh**: Ta có:
- \( BE \) song song với \( CD \) (từ tính chất của phân giác trong tam giác cân), có nghĩa là \( BEDC \) thỏa mãn điều kiện để là hình thang.
- Kèm theo các góc \( \angle OBE = \angle OCD \).

Từ các lý lẽ trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BEDC \) là hình thang cân.

### b. Chứng minh \( BE = DE = DC \).

1. **Theo tính chất phân giác**: Tại điểm \( O \), phân giác chia cạnh \( AB \) và \( AC \) thành các đoạn tỉ lệ với các cạnh đối diện.

2. **Dùng tỉ lệ**: Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} = 1 \implies BE = EC.
\]

3. **Từ tính chất hình thang cân**: Từ \( BEDC \) là hình thang cân, ta có các cạnh đáy bằng nhau.
- Vì \( BE = CD \) mà cũng biết rằng \( DE \) và \( BE \) đều căn cứ vào cá mặt của phân giác, ta có:
\[
BE = DE.
\]

4. **Từ bước này, suy ra \( BE = DE = DC \)**.

Tóm lại, chúng ta có \( BEDC \) là hình thang cân và đồng thời \( BE = DE = DC \) do tính chất phân giác và các cạnh đối diện trong hình thang.