Tính tổng: 1/4.7+1/7.10+....+1/(3n-2).(3n+1)

Để tính tổng biểu thức \( S_n = \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} \), ta sẽ phân tích từng thành phần trong tổng.

Tổng có thể viết lại như sau:

\[
S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}
\]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành phần. Bắt đầu từ biểu thức:

\[
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1}
\]

trong đó \( A \) và \( B \) là các hằng số cần tìm.

Nhân cả hai vế với \( (3k-2)(3k+1) \):

\[
1 = A(3k+1) + B(3k-2)
\]

Mở rộng và sắp xếp theo các hệ số của \( k \):

\[
1 = (3A + 3B)k + (A - 2B)
\]

Để phương trình trên đúng cho mọi \( k \), hệ số của \( k \) phải bằng 0 và hằng số phải bằng 1:

\[
3A + 3B = 0 \quad (1)
\]
\[
A - 2B = 1 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình trên:

Từ phương trình (1) ta có \( A + B = 0 \) hay \( A = -B \).

Thay vào phương trình (2):

\[
-A - 2B = 1 \implies -(-B) - 2B = 1 \implies B - 2B = 1 \implies -B = 1 \implies B = -1
\]

Vậy \( A = 1 \).

Ta có:

\[
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}
\]

Vậy tổng của chúng ta trở thành:

\[
S_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)
\]

Điều này cho ta:

\[
S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + ... + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)
\]

Các số hạng trong tổng sẽ hủy nhau thành:

\[
S_n = 1 - \frac{1}{3n+1}
\]

Do đó tổng \( S_n \) là:

\[
S_n = 1 - \frac{1}{3n+1}
\]

Kết luận lại, tổng \( S_n \) được tính là:

\[
S_n = 1 - \frac{1}{3n+1}
\]