Để tìm \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) sao cho \( 3^n + 63 \) chia hết cho 72, chúng ta có thể diễn đạt yêu cầu đó như sau:

\[
3^n + 63 \equiv 0 \pmod{72}
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
3^n \equiv -63 \equiv 9 \pmod{72}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính \( 3^n \mod 72 \) cho các giá trị \( n \).

1. Tính các giá trị của \( 3^n \mod 72 \):
- \( n = 0: 3^0 \equiv 1 \pmod{72} \)
- \( n = 1: 3^1 \equiv 3 \pmod{72} \)
- \( n = 2: 3^2 \equiv 9 \pmod{72} \)
- \( n = 3: 3^3 \equiv 27 \pmod{72} \)
- \( n = 4: 3^4 \equiv 81 \equiv 9 \pmod{72} \)
- \( n = 5: 3^5 \equiv 243 \equiv 27 \pmod{72} \)

Từ đây, chúng ta thấy rằng \( 3^n \equiv 9 \pmod{72} \) tại \( n = 2 \) và \( n = 4 \).

2. Kiểm tra các giá trị \( n = 2 \) và \( n = 4 \):
- Nếu \( n = 2 \):
\[
3^2 + 63 = 9 + 63 = 72 \equiv 0 \pmod{72}
\]
- Nếu \( n = 4 \):
\[
3^4 + 63 = 9 + 63 = 72 \equiv 0 \pmod{72}
\]

Báo cáo cho về các giá trị của \( n \) thuận lợi. Tuy nhiên, chúng ta sẽ kiểm tra thêm tính chất chu kỳ của \( 3^n \mod 72 \) để khẳng định rằng các giá trị khác cũng có thể tồn tại.

Chúng ta thấy rằng \( 71 \equiv 9 \pmod{72} \) và mọi số dư sẽ lặp lại sau mỗi 6 giá trị. Nghĩa là:

\[
3^n \equiv 9 \pmod{72} \text{ khi } n \equiv 2 \text{ hoặc } n \equiv 4 \pmod{6}
\]

Vì vậy, các giá trị \( n \) thoả mãn là:

\[
n = 2 + 6k \quad \text{hoặc} \quad n = 4 + 6k \quad \text{ với } k \in \mathbb{N}
\]

Cuối cùng, tập hợp tất cả các giá trị này sẽ là đáp số cho bài toán:

\[
\{ n | n \equiv 2 \text{ hoặc } n \equiv 4 \pmod{6} \}
\]