Cho sin alpha = -1. Tính cos (2pi - alpha); tan(alpha - 7pi)

Để giải bài toán này, ta có thông tin cho rằng \(2 \cos \alpha = -1\), từ đó suy ra:

\[
\cos \alpha = -\frac{1}{2}
\]

Từ tính chất của hàm cos, ta biết rằng khi \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\), \(\alpha\) nằm trong các góc:

\[
\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ hoặc } \alpha = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z}
\]

### 1. Tính \( \cos(2\pi - \alpha) \)

Sử dụng tính chất của cos:

\[
\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)
\]

Vì vậy:

\[
\cos(2\pi - \alpha) = -\frac{1}{2}
\]

### 2. Tính \( \tan(\alpha - 7\pi) \)

Sử dụng tính chất của tan:

\[
\tan(\alpha - 7\pi) = \tan(\alpha)
\]

Hàm tan có chu kỳ \(\pi\), và vì vậy:

\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Đầu tiên, tìm \(\sin \alpha\):

Dựa vào \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\):

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

\[
\sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1
\]

\[
\sin^2 \alpha = \frac{3}{4} \implies \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Với \(\alpha\) trong các góc \(\frac{2\pi}{3}\) hoặc \(\frac{4\pi}{3}\), ta có:

- \(\alpha = \frac{2\pi}{3}\): \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\alpha = \frac{4\pi}{3}\): \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Do đó:

\[
\tan(\alpha) = \frac{\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \mp \sqrt{3}
\]

Vậy ta có 2 trường hợp:

- Nếu \(\alpha = \frac{2\pi}{3}\), thì \(\tan(\alpha) = -\sqrt{3}\).
- Nếu \(\alpha = \frac{4\pi}{3}\), thì \(\tan(\alpha) = \sqrt{3}\).

### Kết luận

- \( \cos(2\pi - \alpha) = -\frac{1}{2} \)
- \( \tan(\alpha - 7\pi) = -\sqrt{3} \text{ hoặc } \sqrt{3} \) tùy thuộc vào \(\alpha\).