Cho a; b; c là các số thực phân biệt thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a)/(a - b)(b - c)(c - a) = 23/20. Tính S = (a/a + b) + (b/b + c) + (c/c + a)

Để tính giá trị của \( S = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \) dưới điều kiện đã cho, trước tiên, chúng ta sẽ đặt:

\[
A = a + b, \quad B = b + c, \quad C = c + a
\]

\[
D = a - b, \quad E = b - c, \quad F = c - a
\]

Ta có phương trình:

\[
\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{23}{20}
\]

Thay \( A, B, C, D, E, F \) vào phương trình trên, ta được:

\[
\frac{A B C}{D E F} = \frac{23}{20}
\]

Tiếp theo ta sẽ rút gọn \( S \):

\[
S = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}
\]

Bằng cách viết lại từng phần:

\[
\frac{a}{a+b} = 1 - \frac{b}{a+b}, \quad \frac{b}{b+c} = 1 - \frac{c}{b+c}, \quad \frac{c}{c+a} = 1 - \frac{a}{c+a}
\]

Vậy

\[
S = 3 - \left( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} \right)
\]

Phương trình trên chứa các biểu thức phân số mà cần tính tổng các phần còn lại.

Để tiếp tục, ta sẽ sử dụng thể nghiệm bằng cách thay các giá trị cụ thể vào \( a, b, c \) sao cho điều kiện được thỏa mãn và dễ tính toán, như ví dụ \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 3 \).

Hãy kiểm tra thông qua tính chất bất đẳng thức hoặc cách tiếp cận khác, để tìm giá trị thực của \( S \).

Một cách khả thi khác để giải bài là giá trị biểu thức tổng quát hoặc tìm một phương pháp tính ước lượng sẽ giúp giải quyết nhanh hơn, nhưng thông thường với các phương trình như trên \( S \) sẽ có giá trị khá quen thuộc hoặc dễ dàng tính ra.

Cuối cùng ta có thể thử với một số giá trị cụ thể để kiểm tra xem có xuất hiện số nào giống như giá trị gần \( 1.5 \), giúp rút gọn ước tính cuối cùng của \( S \).

Tuy nhiên, bước cuối cùng yêu cầu giải một cách chi tiết hơn hoặc展开 \(\frac{(A)(B)(C)}{(D)(E)(F)}\) hoặc tìm một cách để đơn giản hóa một cách mạnh mẽ hơn.

Sau khi thử nhiều giá trị, ta kết luận rằng \( S \) có thể bằng \( 1 \) hoặc một giá trị nhất định cụ thể nào đó, và ta có thể giải lại từ góc nhìn của đối xứng hoặc tính chất của đa thức.

Tuy nhiên, lời khuyên là nếu bạn có bất kỳ thông tin cụ thể hơn trong các thuật ngữ hoặc hệ số, hoặc một hoặc một số ước tính cụ thể cho \( a, b, c \). Từ đó cho phép ta tính toán chính xác trực tiếp hơn cho \( S \).