Để giải bất phương trình \( \frac{x}{x - 2} + \frac{x + 2}{x} > 2 \), chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách đưa tất cả các hạng tử về cùng một phía.

1. **Đưa bất phương trình về dạng chuẩn**:
\[
\frac{x}{x-2} + \frac{x+2}{x} - 2 > 0
\]

2. **Tìm mẫu số chung**:
Mẫu số chung của các phân số là \( x(x - 2) \). Ta sẽ biến đổi các hạng tử theo mẫu số này.
\[
\frac{x^2}{x(x-2)} + \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)} - \frac{2x(x - 2)}{x(x - 2)} > 0
\]

Rút gọn từng hạng tử:
- Hạng tử thứ nhất: \( \frac{x^2}{x(x-2)} \) vẫn giữ nguyên.
- Hạng tử thứ hai:
\[
(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 \implies \frac{x^2 - 4}{x(x - 2)}
\]
- Hạng tử thứ ba:
\[
\frac{2x(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{2x^2 - 4x}{x(x - 2)}
\]

3. **Ghép lại**:
\[
\frac{x^2 + x^2 - 4 - 2x^2 + 4x}{x(x - 2)} > 0
\]
Rút gọn biểu thức trong tử:
\[
\frac{(x^2 - 2x^2 + 4x - 4)}{x(x - 2)} = \frac{-x^2 + 4x - 4}{x(x - 2)} > 0
\]

4. **Rút gọn biểu thức tử**:
Tự biến đổi tử số \( -x^2 + 4x - 4 = -(x^2 - 4x + 4) = -(x - 2)^2 \).
Vậy ta có
\[
\frac{-(x - 2)^2}{x(x - 2)} > 0
\]

5. **Phân tích dấu**:
Ta sẽ phân tích dấu từng phần trong bất phương trình:
- \( -(x - 2)^2 \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 (cụ thể là âm hoặc bằng 0).
- \( x(x - 2) \) có dấu phụ thuộc vào các giá trị của \( x \).

6. **Điều kiện của bất phương trình**:
Chúng ta biết rằng tử số chỉ có thể bằng 0 khi \( x = 2 \) và không thể có dấu lớn hơn 0 nếu \( x(x - 2) \) là âm. Ta cần điều kiện để bất phương trình có nghĩa:
- \( x \neq 0 \) và \( x \neq 2 \).

7. **Giải bất phương trình**:
Bất phương trình sẽ có dấu dương khi tử số âm và mẫu số dương. Do đó, ta cần giải:
- \( -(x - 2)^2 > 0 \) không có nghiệm (không thể lớn hơn 0).
- Xem xét \( x(x - 2) < 0 \): điều này sẽ đúng khi \( x < 0 \) hoặc \( 0 < x < 2 \).

Kết luận:
Ta có
\[
x(x - 2) < 0 \implies x \in (0, 2)
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
\[
\boxed{(0, 2)}
\]