Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm. D là trung điểm BC. Kẻ DH vuông góc AB ở H, DK vuông góc AC ở K

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần vẽ hình và xác định các điểm, sau đó sẽ tiến hành tính toán và chứng minh.

### a) Tính AD

1. **Xác định điểm D**: D là trung điểm của BC, nên \( BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) cm.

2. **Tính AD**: D là điểm trên đoạn thẳng BC, ta gọi vị trí của A trong hệ trục tọa độ với A(0, 0), B(0, b), và C(c, 0), với \( b = c \) là chiều cao và chiều dài của tam giác vuông tại A.

Khi đó, chiều dài BC được tính theo định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{b^2 + c^2}
\]

Với BC = 10 cm, ta có:
\[
b^2 + c^2 = 100
\]

Giả sử D có tọa độ là \( D\left( \frac{c}{2}, \frac{b}{2} \right) \).

Tính AD bằng công thức:
\[
AD = \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{c^2 + b^2}{4}} = \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2}
\]
Với \( b^2 + c^2 = 100 \):
\[
AD = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh tứ giác AHDK là hình chữ nhật

1. **Chứng minh DH vuông góc với AH**:
- DH vuông góc với AB tại H.
- AB là chiều cao nên DH cũng vuông góc với AC tại K (và ngược lại).

2. **Chứng minh DK vuông góc với AK**:
- DK vuông góc với AC tại K.
- AK là chiều cao vuông góc với AC, nên DH và DK đều vuông góc với các cạnh của tam giác.

=> Từ đó, tứ giác AHDK có 2 cặp cạnh đối diện vuông góc, do đó AHDK là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh tứ giác AHKE là hình bình hành

1. **Gọi E là điểm đối xứng của D qua K**. Tính tọa độ của E.
2. **Khi xác định E, ta có:**
- A (0, 0), H, K, D, E đều có tọa độ cụ thể (tùy vào vị trí H và K).

3. **Xét các cạnh AH và KE, AK và HE**:
- Nếu AH // KE và AK // HE, thì tứ giác AHKE là hình bình hành.

Tóm lại, để giải câu c, bạn cần xác định tọa độ cụ thể cho các điểm dựa trên điều kiện đề bài (độ dài và góc vuông) và sử dụng tính chất của hình bình hành là các cạnh đối diện song song và bằng nhau.

### Kết luận

Vậy các câu hỏi đã được giải:

a) \( AD = 5 \) cm.

b) Tứ giác AHDK là hình chữ nhật.

c) Tứ giác AHKE là hình bình hành.