Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một:

### 1. Chứng minh góc BCD = 2 * góc BDC và góc BCD = 60 độ

- Gọi \( \angle BDC = x \). Theo đề bài, ta có \( \angle BCD = 2x \).
- Còn vì tam giác BDC có tổng ba góc bằng 180 độ, ta có:
\[
\angle BDC + \angle BCD + \angle DBC = 180^\circ
\]

Có thông tin rằng DB vuôn góc BC, nên \( \angle DBC = 90^\circ \). Thay vào ta có:
\[
x + 2x + 90^\circ = 180^\circ
\]
Từ đó ta giải ra:
\[
3x + 90^\circ = 180^\circ
\]
\[
3x = 90^\circ \implies x = 30^\circ
\]

- Vậy \( \angle BDC = 30^\circ \) và \( \angle BCD = 2x = 60^\circ \).

### 2. Gọi T là giao điểm của CB và DA. Chứng minh tam giác TCD đều

- Trong hình thang cân ABCD với AB // CD, điểm T là giao điểm của CB và DA.
- Vì DB là tia phân giác của góc ADC và vuông góc với BC, ta có thể nói rằng AT = TD (vì hai tam giác ABD và DBC là tam giác vuông cân).

- Từ đó, ta chứng minh được \( TC = TD = CD \) và do đó \( \triangle TCD \) là tam giác đều khi ba cạnh bằng nhau.

### 3. Tính chu vi hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD, và AB = AD

- Giả sử \( AB = a \) và \( CD = b \). Theo đề bài, ta có \( AB = AD = a \).
- Do tính chất của hình thang cân và các góc đã được tính, ta có thể thấy rằng từ điểm D hạ đường cao xuống độ dài BC sẽ là một đoạn thẳng với độ dài nhất định.

- Chúng ta dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh:
\[
BC = AD \times \tan(30^\circ) = a \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

- Chu vi hình thang ABCD sẽ được tính bằng:
\[
P = AB + BC + CD + AD = a + \frac{a}{\sqrt{3}} + b + a = 2a + b + \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

Cuối cùng, để có chu vi cụ thể, ta cần độ dài của AB và CD (hoặc AT).

Chúc bạn thành công trong việc giải quyết bài tập này! Nếu có câu hỏi hoặc cần thêm thông tin, bạn hãy báo cho tôi nhé!