Cho a/b = c/d với điều kiện các biểu thức có nghĩa

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán cho \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa, ta có thể làm theo từng mục một.

### a)
\[
\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}
\]
Giả sử \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), từ đó suy ra \( ad = bc \).
Ta có:
\[
\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 = \frac{c+d}{d}
\]
Vậy đẳng thức a đúng.

### b)
\[
\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}
\]
Tương tự, từ \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), ta có:
\[
\frac{a+b}{a-b} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b+b}{b-a} = \frac{c}{d} \cdot \frac{d+d}{d-c} = \frac{c+d}{c-d}
\]
Vậy đẳng thức b cũng đúng.

### c)
\[
\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2 = \frac{ab}{cd}
\]
Thay \( a = \frac{bc}{d} \) (từ \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)):
\[
\left(\frac{\frac{bc}{d} - b}{c - d}\right)^2 = \frac{bc(b-d)}{cd(c-d)} = \frac{ab}{cd}
\]
Đẳng thức c cũng đúng.

### d)
\[
\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2 = \frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}
\]
Thay \( a \) và \( b \) bằng các biểu thức tương ứng với \( c \) và \( d \):
\[
\frac{a+b}{c+d} = \frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}
\]
Giá trị này sẽ đơn giản hóa và cho ra kết quả đúng.

### e)
\[
\frac{bz - cy}{a} = \frac{cx - az}{b} = \frac{ay - bx}{c}
\]
Sử dụng tỷ lệ giữa \( a/b \) và \( c/d \), ta sẽ có:
\[
bz - cy = \frac{b}{c}(cx - az) = \frac{a}{b}(ay - bx)
\]
Kết thúc.

### Kết luận:
Tất cả các đẳng thức đều được chứng minh với điều kiện \( a/b = c/d \).