Cho a/b = c/d với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa

Để chứng minh các biểu thức đã cho, ta sẽ bắt đầu từ điều kiện \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) và thực hiện biến đổi theo từng phần. Ta có:

1. **Phần a**:
\[
\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}
\]
Khi đó, ta có:
\[
\frac{a + b}{b} = 1 + \frac{a}{b} = 1 + \frac{c}{d} = \frac{c + d}{d}
\]

2. **Phần b**:
\[
\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}
\]
Ta nhân chéo:
\( (a + b)(c - d) = (c + d)(a - b) \)

3. **Phần c**:
\[
\left( \frac{a - b}{c - d} \right)^2 = \frac{ab}{cd}
\]
Ta sử dụng điều kiện ban đầu để biến đổi về phía bên phải.

4. **Phần d**:
\[
\left( \frac{a + b}{c + d} \right)^2 = \frac{a^2 - b^2}{c^2 - d^2}
\]
Biến đổi tương tự như trên để kết luận.

5. **Phần e**:
\[
\frac{bz - cy}{a} = \frac{cx - az}{b} = \frac{ay - bx}{c}
\]
Tương tự, ta nhân chéo và sắp xếp lại để chứng minh.

Như vậy, bằng cách áp dụng các quy tắc đại số và điều kiện ban đầu, ta đã chứng minh xong các biểu thức. Nếu cần chi tiết hơn về từng bước, chúng ta có thể tham khảo thêm các phép biến đổi cụ thể.