Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ xử lý từng biểu thức một.

### a) \( B = 4 - \frac{1}{4} \sqrt{x} \)

1. **Xác định miền xác định**: \( \sqrt{x} \) chỉ được xác định khi \( x \geq 0 \).
2. **Tìm giá trị của B**:
- Xét hàm \( f(x) = 4 - \frac{1}{4} \sqrt{x} \).
- Hàm này giảm khi \( x \) tăng (vì đạo hàm của \( \frac{1}{4} \sqrt{x} > 0 \)).
- Tại \( x = 0 \): \( B(0) = 4 - \frac{1}{4} \cdot 0 = 4 \).
- Khi \( x \to \infty \): \( B \to -\infty \).

Vậy giá trị lớn nhất của \( B \) là \( 4 \) tại \( x = 0 \).

### b) \( B = 12^2 - \frac{1}{4} \sqrt{x^2 - 4} \)

1. **Xác định miền xác định**: \( x^2 - 4 \geq 0 \implies |x| \geq 2 \) (\( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 2 \)).
2. **Tìm giá trị của B**:
- Xét hàm \( f(x) = 144 - \frac{1}{4} \sqrt{x^2 - 4} \).
- Hàm này cũng sẽ giảm khi \( |x| \) tăng.
- Tại \( x = 2 \):
\[
B(2) = 144 - \frac{1}{4} \sqrt{2^2 - 4} = 144 - \frac{1}{4} \cdot 0 = 144.
\]
- Tại \( x \geq 2 \) hoặc \( x \leq -2 \), khi \( |x| \to \infty \): \( B \to -\infty \).

Vậy giá trị lớn nhất của \( B \) là \( 144 \) tại \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \).

### **Kết luận**:
- a) Giá trị lớn nhất của \( B \) là \( 4 \) (tại \( x = 0 \)).
- b) Giá trị lớn nhất của \( B \) là \( 144 \) (tại \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \)).