Cho cot a = 2. Tính P = sin^4 a + cos^4 a/ (sin^3 a cos a - cos^4 a)

Để giải bài 9, trước hết ta cần sử dụng thông tin từ điều kiện \( \cot \alpha = 2 \).

### Phần a

1. **Tìm \( \sin \alpha \) và \( \cos \alpha \)**:
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 2 \implies \cos \alpha = 2 \sin \alpha
\]
Sử dụng công thức \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\[
\sin^2 \alpha + (2\sin \alpha)^2 = 1 \implies \sin^2 \alpha + 4\sin^2 \alpha = 1 \implies 5\sin^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = \frac{1}{5}
\]
Do đó:
\[
\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos \alpha = 2\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

2. **Tính \( P \)**:
\[
P = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^3 \alpha \cos \alpha - \cos^4 \alpha}
\]

- Tính \( \sin^4 \alpha \) và \( \cos^4 \alpha \):
\[
\sin^4 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^4 = \frac{1}{25}, \quad \cos^4 \alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^4 = \frac{16}{25}
\]
\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{1}{25} + \frac{16}{25} = \frac{17}{25}
\]

- Tính \( \sin^3 \alpha \cos \alpha \):
\[
\sin^3 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{1}{5\sqrt{5}}, \quad \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{25}
\]

- Tính \( \cos^4 \alpha \):
\[
\cos^4 \alpha = \frac{16}{25}
\]

- Tính mẫu số:
\[
\sin^3 \alpha \cos \alpha - \cos^4 \alpha = \frac{2}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{14}{25}
\]

- Kết quả \( P \):
\[
P = \frac{\frac{17}{25}}{-\frac{14}{25}} = -\frac{17}{14}
\]

### Phần b

1. **Tìm \( \sin a \) và \( \cos a \)** từ \( \tan a = 2 \):
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = 2 \implies \sin a = 2\cos a
\]
Sử dụng công thức \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):
\[
(2\cos a)^2 + \cos^2 a = 1 \implies 4\cos^2 a + \cos^2 a = 1 \implies 5\cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = \frac{1}{5} \implies \cos a = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin a = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

2. **Tính \( B \)**:
\[
B = \frac{-2\sin^3 a + 2\sin a \cos^2 a + \sin a}{4 \cos^3 a - 3 \sin a - 2 \cos a}
\]

- Tính \( \sin^3 a \):
\[
\sin^3 a = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{8}{5\sqrt{5}}
\]
- Tính \( 2 \sin a \cos^2 a \):
\[
\cos^2 a = \frac{1}{5} \quad \implies 2 \sin a \cos^2 a = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5\sqrt{5}}
\]
- Tính tử số:
\[
-2\sin^3 a + 2\sin a \cos^2 a + \sin a = -\frac{16}{5\sqrt{5}} + \frac{4}{5\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{16 - 4 + 10}{5\sqrt{5}} = -\frac{10}{5\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}
\]

- Tính mẫu số:
\[
4\cos^3 a - 3\sin a - 2\cos a
\]

Tính từng phần:
\[
\cos^3 a = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{1}{5\sqrt{5}} \quad \implies 4\cos^3 a = \frac{4}{5\sqrt{5}}, \quad 3\sin a = \frac{6}{\sqrt{5}}, \quad 2\cos a = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]
- Tính mẫu số:
\[
4\cos^3 a - 3\sin a - 2\cos a = \frac{4}{5\sqrt{5}} - \frac{6}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4 - 30 - 10}{5\sqrt{5}} = \frac{-36}{5\sqrt{5}}
\]

- Kết quả \( B \):
\[
B = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{-36}{5\sqrt{5}}} = \frac{2 \cdot 5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}
\]

### Kết quả cuối cùng:
- \( P = -\frac{17}{14} \)
- \( B = \frac{5}{18} \)