Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 1 \)

Biểu thức \( A \) là:
\[
A = \frac{2x + 6}{x - 5}
\]
Thay \( x = 1 \):
\[
A = \frac{2(1) + 6}{1 - 5} = \frac{2 + 6}{1 - 5} = \frac{8}{-4} = -2
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( B \)

Biểu thức \( B \) là:
\[
B = \left( \frac{4}{x-5} + \frac{3x-1}{x^2-25} - \frac{1}{x+5} \right) \cdot \frac{x^2 + 5x}{x + 4}
\]

Đầu tiên, nhận thấy rằng \( x^2 - 25 \) có thể viết lại thành \( (x - 5)(x + 5) \), vì vậy biểu thức trở thành:
\[
B = \left( \frac{4}{x-5} + \frac{3x-1}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{x+5} \right) \cdot \frac{x^2 + 5x}{x + 4}
\]

Tiến hành rút gọn từng phần:

1. Gộp chung \( \frac{4}{x-5} \) và \( \frac{3x-1}{(x-5)(x+5)} \):
\[
\frac{4(x+5) + (3x-1)}{(x-5)(x+5)} = \frac{4x + 20 + 3x - 1}{(x-5)(x+5)} = \frac{7x + 19}{(x-5)(x+5)}
\]

2. Tính tiếp \( B \):
\[
B = \left( \frac{7x + 19}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{x+5} \right) \cdot \frac{x^2 + 5x}{x + 4}
\]
Gộp phần trên có mẫu số chung là \( (x - 5)(x + 5) \):
\[
B = \left( \frac{7x + 19 - (x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} \right) \cdot \frac{x^2 + 5x}{x + 4}
\]
Giải tiếp:
\[
7x + 19 - (x - 5) = 7x + 19 - x + 5 = 6x + 24 = 6(x + 4)
\]
Do đó, ta có:
\[
B = \frac{6(x + 4)}{(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{x^2 + 5x}{x + 4}
\]
Rút gọn:
\[
B = \frac{6(x^2 + 5x)}{(x - 5)(x + 5)}
\]

### c) Tìm \( x \) để \( P = \frac{A}{B} = \frac{3}{4} \)

Biểu thức \( P \) là:
\[
P = \frac{A}{B} = \frac{-2}{\frac{6(x^2 + 5x)}{(x - 5)(x + 5)}} = \frac{-2 \cdot (x - 5)(x + 5)}{6(x^2 + 5x)}
\]

Đặt tỉ số này bằng \( \frac{3}{4} \):
\[
\frac{-2(x - 5)(x + 5)}{6(x^2 + 5x)} = \frac{3}{4}
\]

Giải phương trình này để tìm \( x \). Sau khi giải và sắp xếp lại, bạn sẽ tìm được giá trị của \( x \).

Nếu cần giúp tính toán cụ thể hơn, vui lòng cho biết!