Để tìm các số nguyên tố \( p \) sao cho \( p^2 + 11 \) có đúng 6 ước dương, trước hết, chúng ta cần nhớ rằng một số tự nhiên \( n \) có đúng 6 ước dương nếu và chỉ nếu một trong các trường hợp sau xảy ra:
1. \( n \) có thể viết dưới dạng \( p^5 \) với \( p \) là số nguyên tố (trong trường hợp này, số ước là \( 5 + 1 = 6 \)).
2. \( n \) có thể viết dưới dạng \( p^2q \) với \( p \) và \( q \) là các số nguyên tố phân biệt (trong trường hợp này, số ước là \( (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)).

Vì \( p \) là số nguyên tố, ta sẽ khảo sát tính chất của biểu thức \( p^2 + 11 \).

**Trường hợp 1: \( p^2 + 11 = y^5 \)**

Giả sử \( p^2 + 11 = y^5 \), thì:

\[
p^2 = y^5 - 11
\]

Ta cần tìm các số nguyên tố \( p \) và \( y \) thỏa mãn điều kiện trên. Một cách khảo sát nhanh là kiểm tra các giá trị nhỏ của \( p \):

- Nếu \( p = 2 \):
\[
p^2 + 11 = 4 + 11 = 15 \quad (\text{số ước: } 4)
\]
- Nếu \( p = 3 \):
\[
p^2 + 11 = 9 + 11 = 20 \quad (\text{số ước: } 6)
\]
- Nếu \( p = 5 \):
\[
p^2 + 11 = 25 + 11 = 36 \quad (\text{số ước: } 9)
\]
- Nếu \( p = 7 \):
\[
p^2 + 11 = 49 + 11 = 60 \quad (\text{số ước: } 12)
\]
- Nếu \( p = 11 \):
\[
p^2 + 11 = 121 + 11 = 132 \quad (\text{số ước: } 12)
\]

Như vậy, chỉ có \( p = 3 \) là thỏa mãn.

**Trường hợp 2: \( p^2 + 11 = p_1^2 q \)**

Dễ thấy rằng \( p^2 + 11 \) cần kiểm tra với các nguyên tố khác, tuy nhiên ta có thêm rằng:

- Khi \( p = 3 \), \( p^2 + 11 = 20 = 2^2 \times 5 \) có \( 6 \) ước.
- Với các \( p \) khác tăng lên, số ước của \( p^2 + 11 \) không dễ dàng nằm ở 6.

Dựa vào phân tích trên, chúng ta chỉ tìm thấy một nguyên tố \( p \) là \( 3 \) mà \( p^2 + 11 \) có đúng 6 ước.

Kết luận: Số nguyên tố \( p \) mà bạn tìm được là \( p = 3 \).