Để chứng minh các khẳng định trên, chúng ta sẽ sử dụng một số quy tắc về tính chia hết.

### a) Chứng minh rằng \( 10^{15} - 1 \) chia hết cho 9

Áp dụng định lý số dư, ta biết rằng \( 10^n \equiv 1 \mod 9 \) với mọi số nguyên dương \( n \). Cụ thể, ta chứng minh điều này bằng cách biến đổi số 10:

\[
10 \mod 9 = 1
\]

Vậy, từ đó chúng ta có:

\[
10^1 \mod 9 = 1,
\]
\[
10^2 \mod 9 = 1,
\]
\[
10^3 \mod 9 = 1,
\]
\[
\vdots
\]
\[
10^{15} \mod 9 = 1
\]

Như vậy, ta có:

\[
10^{15} \equiv 1 \mod 9
\]

Từ đó, suy ra:

\[
10^{15} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 9
\]

Vậy \( 10^{15} - 1 \) chia hết cho 9.

### b) Chứng minh rằng \( 10^{2013} + 2 \) chia hết cho 3

Đầu tiên, ta cũng áp dụng quy tắc tương tự như trên. Ta có:

\[
10 \mod 3 = 1
\]

Do đó, tương tự:

\[
10^n \mod 3 = 1
\]

Vậy:

\[
10^{2013} \mod 3 = 1
\]

Suy ra:

\[
10^{2013} + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3
\]

Điều này chứng tỏ rằng \( 10^{2013} + 2 \) chia hết cho 3.

### Kết luận
- \( 10^{15} - 1 \) chia hết cho 9.
- \( 10^{2013} + 2 \) chia hết cho 3.