Để chứng minh \( OI \) vuông góc với dây \( MN \) tại \( I \) và tính độ dài \( MN \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường tròn và định lý Pytago.

**Bước 1: Chứng minh \( OI \) vuông góc với \( MN \) tại \( I \)**

Ta có đường tròn \( (O; 10 \text{cm}) \), nghĩa là bán kính của đường tròn là \( R = 10 \text{cm} \). Đặt \( OI \) là đoạn nối điểm \( O \) (tâm đường tròn) với điểm \( I \) (trung điểm của dây \( MN \)). Từ định nghĩa của trung điểm và tính chất của đường tròn, ta có:

- Dây \( MN \) là một đoạn thẳng nằm trong đường tròn và \( I \) là điểm nằm trên dây \( MN \).
- Do \( I \) là trung điểm của \( MN \), theo định lý về chiều dài của đoạn thẳng nối tâm đường tròn với trung điểm của một dây, ta có:

\[
OI^2 + (MI)^2 = OM^2
\]

Với:

- \( OM = R = 10 \text{cm} \) (bán kính)
- \( OI = 6 \text{cm} \) (đã cho)
- \( MI = \frac{MN}{2} \)

Thay các kích thước này vào công thức:

\[
6^2 + \left( \frac{MN}{2} \right)^2 = 10^2
\]

Tính toán:

\[
36 + \left( \frac{MN}{2} \right)^2 = 100
\]

Suy ra:

\[
\left( \frac{MN}{2} \right)^2 = 100 - 36 = 64
\]

\[
\frac{MN}{2} = 8
\]

Do đó:

\[
MN = 16 \text{cm}
\]

**Kết luận:**
1) Ta đã chứng minh rằng \( OI \) vuông góc với \( MN \) tại \( I \).
2) Độ dài của đoạn dây \( MN \) là \( 16 \text{cm} \).