Cho a, b, c là các số hữu tỉ dương thỏa mãn 1/a+1/b+1/c =2, Chứng minh A=√abc/(a+2bc)(b+2ca)(cc+2ab) là số hữu tỉ

Để chứng minh rằng \( A = \frac{\sqrt{abc}}{(a + 2bc)(b + 2ca)(c + 2ab)} \) là số hữu tỉ, chúng ta sẽ phân tích các thành phần trong biểu thức.

Theo giả thiết, chúng ta có \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2 \). Từ điều này, chúng ta có thể viết lại thành:

\[
\frac{bc + ac + ab}{abc} = 2 \Rightarrow bc + ac + ab = 2abc
\]

Chúng ta muốn chứng minh rằng \( A \) là số hữu tỉ. Trước hết, chúng ta sẽ tính toán từng phần trong mẫu số của biểu thức.

1. Xác định nhân tử trong mẫu số:
\[
a + 2bc, \quad b + 2ca, \quad c + 2ab
\]
Ta nhận thấy:

- \( 2bc \)
- \( 2ca \)
- \( 2ab \)

Tất cả đều là tích của các số hữu tỉ, vì \( a, b, c \) đều là số hữu tỉ. Do đó, \( a + 2bc \), \( b + 2ca \), và \( c + 2ab \) đều là số hữu tỉ.

2. Tính mẫu số:
Mẫu số là tích của ba số hữu tỉ:
\[
(a + 2bc)(b + 2ca)(c + 2ab)
\]
Kết quả của tích này vẫn là một số hữu tỉ.

3. Tính tử số:
Tử số là \( \sqrt{abc} \). Nếu \( a, b, c \) là số hữu tỉ dương thì \( abc \) cũng là số hữu tỉ và do đó \( \sqrt{abc} \) cũng sẽ là số hữu tỉ, vì căn bậc hai của một số hữu tỉ dương cũng là số hữu tỉ.

4. Kết luận về \( A \):
Bây giờ, xét toàn bộ biểu thức của \( A \):
\[
A = \frac{\sqrt{abc}}{(a + 2bc)(b + 2ca)(c + 2ab)}
\]
Tử số và mẫu số đều là số hữu tỉ, do đó \( A \) cũng là số hữu tỉ.

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( A \) là số hữu tỉ.