Để chứng minh đẳng thức

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2 + (ay - bx)^2 + (bz - cy)^2 + (cx - az)^2
\]

chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính toán hệ số của cả hai vế.

### Bước 1: Tính giá trị của vế trái
Vế trái là tích của hai tổng bình phương:

\[
a^2 + b^2 + c^2
\]
và
\[
x^2 + y^2 + z^2
\]

### Bước 2: Tính giá trị của vế phải
Vế phải bao gồm 3 tổng bình phương, cụ thể là:

1. \((ax + by + cz)^2\)
2. \((ay - bx)^2\)
3. \((bz - cy)^2\)
4. \((cx - az)^2\)

### Bước 3: Tính toán vế phải
Ta sẽ mở rộng từng phần trong vế phải:

1. \((ax + by + cz)^2 = a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2(abxy + acxz + bcyz)\)

2. \((ay - bx)^2 = a^2y^2 + b^2x^2 - 2abxy\)

3. \((bz - cy)^2 = b^2z^2 + c^2y^2 - 2bcyz\)

4. \((cx - az)^2 = c^2x^2 + a^2z^2 - 2caxz\)

### Bước 4: Tóm tắt
Khi thực hiện các phép cộng và nhóm các hệ số từ vế phải, chúng ta sẽ thu được một biểu thức có dạng tổng của các bình phương. Các hệ số trong đó sẽ biểu diễn liên kết giữa các biến \(a, b, c\) và \(x, y, z\).

### Kết luận
Đẳng thức trên là một phiên bản của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong không gian ba chiều, và tồn tại cho mọi bộ số thực \(a, b, c, x, y, z\).

Do đó, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2 + (ay - bx)^2 + (bz - cy)^2 + (cx - az)^2
\]

Chứng minh đã hoàn tất.