Chứng minh rằng xyz chia hết cho 8

Để chứng minh rằng \(xyz\) chia hết cho 8 khi \(x^2 + y^2 + z^2\) chia hết cho 4, ta sẽ làm như sau:

1. **Xét các trường hợp cho \(x, y, z\)**: Các số nguyên \(x, y, z\) có thể là số chẵn hoặc lẻ. Ta sẽ phân tích theo các trường hợp này.

2. **Xét độ chia của \(x^2, y^2, z^2\)**:
- Nếu \(a\) là số chẵn, thì \(a^2\) chia hết cho 4.
- Nếu \(b\) là số lẻ, thì \(b^2 \equiv 1 \pmod{4}\).

Từ đó, ta có các trường hợp:

- Tất cả \(x, y, z\) đều chẵn:
- Ta có \(x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 + 0 + 0 \equiv 0 \mod 4\). Ở đây, \(xyz\) cũng chia hết cho 8 (tương tự cho tổng chia hết cho 4).

- Có một số chẵn và hai số lẻ, ví dụ \(x\) chẵn, \(y, z\) lẻ:
- \(x^2 \equiv 0 \mod 4\)
- \(y^2 \equiv 1 \mod 4\)
- \(z^2 \equiv 1 \mod 4\)
- Do đó, \(x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 + 1 + 1 \equiv 2 \mod 4\) (không đủ).

- Có hai số chẵn và một số lẻ:
- Giống như trên, tổng cũng sẽ không chia hết cho 4.

- Một số chẵn và một số lẻ:
- Không đủ điều kiện.

Kết luận: Để \(x^2 + y^2 + z^2\) chia hết cho 4, cần ít nhất hai số chẵn, hoặc tất cả đều chẵn. Do đó, khi \(x^2 + y^2 + z^2\) chia hết cho 4, thì \(xyz\) cũng phải là tích của ít nhất hai số chẵn, tạo thành một bội số của 8.

Vậy, \(xyz\) sẽ chia hết cho 8.