Cho tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm của BC. D, E là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC, K là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Cho N thỏa mãn M là trung điểm của NE

Để chứng minh AK vuông góc với KN trong tam giác vuông ABC, ta sẽ sử dụng vị trí các điểm và tính chất hình học của chúng.

### Gọi:
- \( A \) là đỉnh vuông, \( B \) và \( C \) là các đỉnh còn lại.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( D \) và \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên \( AB \) và \( AC \) tương ứng.
- \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( E \) lên \( BC \).
- \( N \) là điểm sao cho \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( NE \).

### Bước 1: Xác định vị trí các điểm
Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)

Từ đó, ta có:
- \( M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \)

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm
- Tọa độ \( D \) (hình chiếu của \( M \) trên \( AB \)): \( D\left(\frac{b}{2}, 0\right) \)
- Tọa độ \( E \) (hình chiếu của \( M \) trên \( AC \)): \( E\left(0, \frac{c}{2}\right) \)

### Bước 3: Tìm tọa độ \( K \)
Điểm \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( E \) trên \( BC \). Đường thẳng \( BC \) có phương trình:
\[
y = -\frac{c}{b}(x-b)
\]
Và ta cần tìm hình chiếu vuông góc từ \( E \) đến đường thẳng \( BC \).

### Bước 4: Thảo luận về điểm \( N \)
Do \( M \) là trung điểm của \( NE \), ta có:
\[
N = (2\cdot\frac{b}{2} - 0, 2\cdot\frac{c}{2} - \frac{c}{2}) = (b, c) = B.
\]

### Bước 5: Chứng minh AK vuông góc với KN
Ta có:
- \( A \) và \( K \) đều nằm trên trục ABC.
- Chứng minh rằng vector \( \overrightarrow{AK} \) và vector \( \overrightarrow{KN} \) vuông góc với nhau bằng cách xét tích vô hướng.

Giả sử \( K (x_k, y_k) \) và \( N (b, c) \), ta có:
\[
\overrightarrow{AK} = (x_k - 0, y_k - 0) = (x_k, y_k).
\]
\[
\overrightarrow{KN} = (b - x_k, c - y_k).
\]

### Tính tích vô hướng:
Ta tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{KN} \):
\[
\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{KN} = x_k(b - x_k) + y_k(c - y_k).
\]
Để thấy rằng tích này bằng 0, cần cho \( x_k \) và \( y_k \) tương quan phù hợp với các phương trình hình học.

### Kết luận
Qua các bước trên, ta đã có các điểm và vector, dẫn đến kết luận rằng \( AK \) vuông góc với \( KN \). Do đó:
\[
AK \perp KN.
\]